线性规划模式.ppt

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1、1,線性規劃模式Linear Programming Models,Chapter 3,2,線性規劃模型(Linear Programming model)是在一組線性的限制式(a set of linear constraints)之下，尋找極大化(maximize)或極小化(minimize)一個特定的目標函數(objective function)線性規劃模型由下列三個部分組成:一組決策變數(A set of decision variables)一個特定的目標函數(An objective function)一組線性的限制式(A set of constraints),線性規劃簡介 I

2、ntroduction to Linear Programming,3,線性規劃簡介 Introduction to Linear Programming,線性規劃重要性許多現實問題本身就適用線性規劃模型 已存在許多有效的求解技巧已存在許多著名的成功應用實例ManufacturingMarketingFinance(investment)AdvertisingAgriculture,4,線性規劃重要性線性規劃套裝軟體之所產生的結果提供有用的如果則“what if”的分析資訊,線性規劃簡介 Introduction to Linear Programming,5,線性規劃模型之假設 Assump

3、tions for Linear Programming,參數具有確定性(certainty)目標函數與限制式符合固定規模報酬之假設(constant returns to scale)疊加性之假設：決策變數間沒有互動性，即某函數之總價值只能藉由線性加總求得連續性(Continuity)之假設變數值必須再某一個可行範圍內,1 單位產品$4，3Hrs生產,500單位產品$4*500=$2000，3*500=1,500Hrs生產,6,典型範例 The Galaxy Industries Production Problem,Galaxy 生產兩種玩具模型:宇宙光Space Ray.射擊手Zappe

4、r.資源限制(Resources)1000 磅特殊塑膠化合物(special plastic)每週40 小時生產時間(40 hrs of production time per week),7,市場需求(Marketing requirement)每週總產量至多 700 打Space Rays週產量不能過Zappers 350打以上,技術係數(Technological inputs)(Table 2.2)Space Rays 每打需要 2 pounds 塑膠與 3分鐘生產時間Zappers每打需要 1pound 塑膠與 4分鐘生產時間,典型範例 The Galaxy Industries P

5、roduction Problem,8,生產需求:Space Ray每打利潤(profit)$8，Zappers每打利潤(profit)$5盡量多生產Space Ray，剩餘資源再生產Zapper,目前生產計畫:Space Rays=450 dozenZapper=100 dozenProfit=$4100 per week,典型範例 The Galaxy Industries Production Problem,9,管理是尋求一個生產排程為了是能增加公司的利潤 Management is seeking a production schedule that will increase th

6、e companys profit.,10,線性規劃模式可以提供一種深入與聰明之方法來解決此問題A linear programming model can provide an insight and an intelligent solution to this problem.,11,決策變數(Decisions variables):X1=每週生產的 Space Rays 打數X2=每週生產的 Zappers 打數目標函數(Objective Function):極大化每週總利潤,典型範例線性規劃模式The Galaxy Linear Programming Model,12,Max

7、8X1+5X2(每週總利潤)subject to2X1+1X2 1000(塑膠原料,Plastic)3X1+4X2 2400(生產時間,Production Time)X1+X2 700(最大產量,Total production)X1-X2 350(組合)Xj=0,j=1,2(非負值,Nonnegativity),典型範例線性規劃模式The Galaxy Linear Programming Model,13,線性規劃模式圖形分析 Graphical Analysis of Linear Programming,滿足模型全部限制式的所有點集合稱為 The set of all points

8、that satisfy all the constraints of the model is called a,可行區域FEASIBLE REGION,14,圖形表示法(graphical presentation)所有限制式(all the constraints)目標函數(objective function)可行點(three types of feasible points),15,The non-negativity constraints(非負限制式),X2,X1,圖形分析 可行區域Graphical Analysis the Feasible Region,16,1000,5

9、00,Feasible,X2,Infeasible,Production Time 限制式3X1+4X2 2400,Total production 限制式 X1+X2 700(多餘),500,700,X1,700,圖形分析 可行區域Graphical Analysis the Feasible Region,17,1000,500,Feasible,X2,Infeasible,Production Time 限制式3X1+4X2 2400,Total production 限制式 X1+X2 700(多餘),500,700,Mix限制式X1-X2 350,Plastic限制式2X1+X2 1

10、000,X1,700,圖形分析 可行區域(p.6768)Graphical Analysis the Feasible Region,可行點(feasible points)有三種,內部點Interior points.,邊界點 Boundary points.,端點Extreme points.,18,以圖形求解是為了尋求最佳解Solving Graphically for an Optimal Solution,19,尋求最佳解圖解程序(p.71)The search for an optimal solution,由任一個 profit開始,say profit=$1,250.,往利潤增

11、加方向移動 increase the profit,if possible.,持續平行移動到無法增加為止 continue until it becomes infeasible,Optimal Profit=$4360,500,700,1000,500,X2,X1,紅色線段 Profit=$1250,20,最佳解(p.69)Summary of the optimal solution,Space Rays X1*=320 dozen Zappers X2*=360 dozen Profit Z*=$4360此最佳解使用了所有的塑膠原料(plastic)與生產時間(production ho

12、urs).2X1+1X2=1000(塑膠原料,Plastic)3X1+4X2=2400(生產時間,Production Time),Excel試算表,束縛方程式(Binding Constraints):等式被滿足之限制式,21,最佳解(p.7071)Summary of the optimal solution,總產量(Total production)680 打(not 700打)Space Rays 產量只超過 Zappers 40打,非束縛方程式(Non-Binding Constraints)：最佳點不在其等式之限制式寬鬆(Slack)：限制式右邊與左邊的差額，代表資源的剩餘數量,X

13、1+X2=680 700(總產量)X1-X2=-40 350(產品組合),總產量有700-680=20的寬鬆產品組合有350-(-40)=390的寬鬆,22,若一個線性規劃問題有一組最佳解，此最佳解一定發生在”端點”上(端點最佳解之候選人,True/False)兩個束縛方程式的交點形成一個”端點”或”角點”,端點與最佳解(p.72)Extreme points and optimal solutions,端點：可行區域的角點,2X1+X2=1000 X1-X2=350 之解,(450,100),(320,360),2X1+X2=10003X1+4X2=2400 之解,(0,600),3X1+4

14、X2=2400 X1=0 之解,23,若多重最佳解存在，則目標函數必定平行其中一個限制式,多重最佳解Multiple optimal solutions,多重最佳解之任何加權平均值亦為一組最佳解,X1=(350,0)最佳解1,X2=(0,600)最佳解2,X=X1+(1-)X2,0,1 亦為最佳解,目標函數 Z,24,最佳解敏感性分析之角色 The Role of Sensitivity Analysis of the Optimal Solution(p.75),輸入參數之變動對於最佳解之敏感度為何?從事敏感性分析之原因：輸入參數可能只是估計值或最佳估計值模型建立在一個動態環境，因此有些參數

15、可能變動“如果.會”(“What-if”)分析可以提供經濟地與作業地資訊.,25,最佳範圍(Range of Optimality)(p.76)當其他因素保持不變時，在不改變最佳解之情況下，目標函數某係數可以變動多少?(p.77)最佳解將不會改變，若 目標函數係數仍在最佳範圍內不改變其他輸入參數目標函數某係數乘上一個非零正數，則目標函數會改變.,(1)目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Objective Function Coefficients.,26,600,1000,500,800,X2,X1,Max 8X1+5X2,Max 4X1+5X2,Max

16、3.75X1+5X2,Max 2X1+5X2,目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Objective Function Coefficients.,最佳解仍為(320,360),(320,360),C1係數=2，最佳解為(0,600)而(320,360)不再是最佳解,(0,600),減少C1係數由83.75,27,600,1000,400,600,800,X2,X1,Max8X1+5X2,Max 3.75X1+5X2,Max 10 X1+5X2,C1係數的最佳範圍:3.75,10,目標函數係數之敏感性分析Sensitivity Analysis of Obj

17、ective Function Coefficients.,增加C1係數，由810最佳解仍包含(320,360),(320,360),同理，C2係數的最佳範圍:4,10.67(Can you find it?),28,一個變數Xj=0的縮減成本RCj為目標函數係數需要增加量的負值(-DZj)，使得最佳解中該變數為正數(Xj 0)縮減成本RCj為此變數Xj每增加一單位(DXj=1)，目標函數會改變的值,C1=2 X*=(0,600)X1=0C1=3.75 X*=(320,360)X1=3200 RC1=-Z1=-(3.75-2)=-1.75,縮減成本 Reduced cost(p.78),29,

18、600,1000,500,800,X2,X1,Max 3.75X1+5X2,Max 2X1+5X2,目標函數係數之敏感性分析縮減成本(p.79),(1,599.25)Z=2998.25,(0,600)Z=3000,X1 1,X1=1(由X1=0X1=1)Z=2998.25-3000=-1.75 RC1=-1.75,30,問題：若其他參數不變之前提下，若右手值變動一個單位，對於目標函數之最佳解有何影響?多少變動單位(增加或減少)，可以保持目前最佳解,(2)右手邊數值 之敏感性分析(p.78)Sensitivity Analysis of Right-Hand Side Values,31,發現：

19、任意變動束縛函數(Binding Constraints)之右手值，都會改變目前最佳解非束縛函數(Non-Binding Constraints)之右手值，當變動數量少於寬鬆(slack)或剩餘(surplus)量時，都不會改變目前最佳解此結果可以由影子價格(Shadow Price)來解釋,右手邊數值 之敏感性分析 Sensitivity Analysis of Right-Hand Side Values,32,影子價格 Shadow Prices(p.80),若其他輸入參數不變之前提下，限制式的影子價格 是當其對應的右手值增加一個單位時，對最佳目標函數值的變動量,33,1000,500,

20、X2,X1,500,2X1+1x2=1000,最佳解由(320,360)(320.8,359.4),2X1+1x2=1001,當右手值增加(例如由10001001)則可行區域擴大,影子價格Shadow Price 圖形表示 graphical demonstration,Shadow price=4363.40 4360.00=3.40,34,可行性範圍 Range of Feasibility(p.81),若其他輸入參數不變之前提下右手值的可行性範圍是影子價格依然不變的 右手值可以變動的範圍.在可行性範圍內，,目標函數之改變量Change in objective value=影價Shado

21、w price*右手值變量Change in the right hand side value,35,塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility(p.81),1000,500,X2,X1,500,2X1+1x2=1000,塑膠原料的數量可以增加到一個新限制式成為Binding為止,此處為不可行解,Production time限制式,Total Production限制式X1+X2 700,36,塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility,1000,500,X2,X1,600,Production time限制式3X1+4X2 2400,請注意看：當塑膠數量增

22、加時最佳解的變化,Total Production限制式X1+X2 700,塑膠的可行性範圍 上限=2X1+1X2=2*(400)+300=1100,X1+X2=7003X1+4X2=2400 之解 X*=(400,300)為最佳解,2X1+1x2 1000,37,塑膠的可行性範圍 Range of Feasibility,1000,500,X2,X1,600,Plastic 限制式2X1+1X2 1000,請注意看：當塑膠數量減少時最佳解的變化,3X1+4X2=2400X1=0 之解 X*=(0,600)為最佳解,塑膠的可行性範圍 下限=2X1+1X2=2*(0)+1*600=600,Pro

23、duction time限制式3X1+4X2 2400,38,已投入成本(Sunk costs):未被包括在目標函數係數之計算當中的資源成本-Shadow Price為該資源額外一單位的價值淨利潤可以將已投入成本$3800由目標函數值中扣除,影子價格的正確解釋 The correct interpretation of shadow prices(p.83),1000磅塑膠每磅$3 Total Cost=$3000Production Time$20/hr Total Cost=$20*40=$800 不管一週實際使用多少塑膠與Production Time，$3000+$800=$3800都

24、必須支付，故為已投入成本,39,已包括成本(Included costs):被包括在目標函數係數之計算當中的資源成本Shadow Price為高於該資源之現有單位價值之額外的價值見p.84表格2.5說明,影子價格的正確解釋 The correct interpretation of shadow prices(p.83),塑膠每磅$3 塑膠影價每磅=$3.4 管理者願意為額外塑膠磅數多支付$6.8(已包括成本),Production Time$0.33/min(or$20/hr)，Production Time影價每分鐘=$0.4 管理者願意為額外Production Time多支付$0.73

25、,40,(3)其他後最佳性變動(p.84)Other Post-Optimality Changes,加入一個新限制式(Addition of a constraint)刪除一個限制式(Deletion of a constraint),決定最佳解是否滿足此限制式Yes,the solution is still optimalNo,re-solve the problem(the new objective function is worse than the original one),決定刪除的限制式是否為束縛限制式Yes,re-solve the problem(the new obj

26、ective function is better than the original one)No,the solution is still optimal,41,其他後最佳性變動(p.84)Other Post-Optimality Changes,刪除變數(Deletion of a variable)增加變數(Addition of a variable)考慮淨邊際利潤(Net Marginal Profit),決定被刪除變數在最佳解中是否為0Yes,the solution is still optimalNo,re-solve the problem(the new object

27、ive function is worse than the original one),42,其他後最佳性變動(p.85)Other Post-Optimality Changes,【範例】X3=新產品大水槍產量 每一個大水槍需3lb塑膠與5min 生產時間 每打利潤$10,Max 8X1+5X2+10X3(每週總利潤)subject to2X1+1X2+3X3 1000(塑膠原料,Plastic,Shadow Price=$3.4)3X1+4X2+5X3 2400(生產時間,Production Time,SP=$0.4)X1+X2+X3 700(最大產量,Total production

28、,SP=$0)X1-X2 350(組合,SP=$0)Xj=0,j=1,2,3(非負值,Nonnegativity),淨邊際利潤=$10-($3.4*(3)+$0.4*(5)+$0*(1)+$0*(0)=-$2.2 0大水槍不具生產價值 X*=(320,360,0)仍為最佳解,43,其他後最佳性變動(p.85)Other Post-Optimality Changes,左手係數的變動(Changes in the left-hand side coefficients.),44,使用Excel Solver 尋找最佳解與分析結果,點選Galaxy.xls，可見輸入試算表點選工具規劃求解(Solv

29、er)，可見下列對話視窗.,45,使用 Excel Solver,點選Galaxy.xls，可見輸入試算表.,$D$7:$D$10=$F$7:$F$10,46,點選Galaxy.xls，可見輸入試算表,$D$7:$D$10=$F$7:$F$10,By Changing cells,$B$4:$C$4,Set Target cell,$D$6,使用 Excel Solver,按Solve以求最佳解,47,使用Excel Solver 最佳解,48,使用Excel Solver 最佳解,Solver 能提供分析報告與最佳解,49,使用Excel Solver 解答報表 Answer Report,

30、50,使用Excel Solver 敏感性分析報表Sensitivity Report,51,不可行性(Infeasibility):一模型中無可行點(p.96)無窮性(Unboundness):一模型中可行解存在，但目標函數沒有限制。目標函數值為無限大(在極大化問題)或無限小(在極小化問題)(p.98)多重解(Alternate solution):一模型中有一個以上的可行點使目標函數為最佳(p.98),無單一最佳解之模型,52,不可行模型 Infeasible Model,53,不可行模型 Solver 呈現之結果,Solver呈現無法找到可行解之結果,54,無窮性Unbounded so

31、lution,可行區域,55,無窮性模型 Solver 呈現之結果,Solver呈現Set Cell值無法收斂之結果,56,Solver 沒有提醒”多重最佳解”存在的情形有”多重最佳解”的LP模型，則某個變數Xj 的目標函數的allowable increase or allowable decrease為0.以Solver尋找多重最佳解的程序如下：(p.99)觀察到某個變數Xj中,多重最佳解模型 Solver 呈現之結果,Allowable increase=0,或Allowable decrease=0.,57,加入一個限制式:Objective function=Current opti

32、mal value.If Allowable increase=0,change the objective to Maximize XjIf Allowable decrease=0,change the objective to Minimize Xj Excel試算表,多重最佳解模型 Solver 呈現之結果,58,線性規劃軟體可以求解大型線性模型大多數線性規劃軟體使用的技巧單形法(Simplex Method)(原理部分見補充CD3)內點法(Interior Point Method)整數線性規劃軟體使用的技巧如切面法(Cutting Plane Method)分支界限法(Branch and Bound Point Method)(原理部分見補充CD3),LP程式的代數解法,