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1、材料力学,第五章 弯曲应力,材料力学,5.1 纯弯曲,材料力学,a,F,纯弯曲：梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪力（）。,横力弯曲：梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又有剪力（）。,弯曲应力/纯弯曲,一.纯弯曲和横力弯曲,材料力学,弯曲应力/纯弯曲,二.纯弯曲实验观察,对比弯曲前后梁的变化,材料力学,弯曲应力/纯弯曲,凹边缩短,凸边伸长,说明横截面上只有存在正应力。,现象一：,材料力学,弯曲应力/纯弯曲,纵向纤维间距离不变,现象二：,说明横截面上没有切应力。,材料力学,弯曲应力/纯弯曲,现象三：,横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的轴线，此即弯曲的平面假设。,材料力学,弯曲应力/纯弯
2、曲,现象四：,有一个曲面，其纵向线段既不伸长又不缩短。,材料力学,中性层：杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长 又不缩短的曲面。,中性轴：中性层与横截面的交线。,弯曲应力/纯弯曲,材料力学,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,5.2纯弯曲时的正应力,材料力学,1.纯弯曲变形几何关系,y,o曲率中心，,y任意纵向纤维至中性层的距离,中性层 的曲率半径，,纵向纤维ab:,变形前,变形后,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,一.纯弯曲正应力的分布规律,材料力学,所以纵向纤维ab的应变为:,轴向变形规律：,轴向变形的大小与到中性层的距离成正比，离中性轴越远，变形越大。,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,材料力学,在线弹性范围
3、内，应用胡克定律,对一定材料，,E=C；,对一定截面，,横截面上的正应力分布规律：,横截面上正应力的大小与到中性层的距离成正比，离中性轴越远，应力越大。,2.物理关系,材料力学,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,二.纯弯曲正应力的计算,M：横截面上的弯矩；,y：横截面上任意一点与中性轴的距离；,Iz：横截面上对中性轴的惯性矩。,材料力学,b,h,竖放：,矩形截面：,h,b,平放：,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,材料力学,圆形截面：,实心：,空心：,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,材料力学,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,正应力的符号规定：,拉为正，压为负。,练习根据内力（弯矩），分析符号：,材料力学,弯曲应力
4、/纯弯曲时的正应力,总结：纯弯曲正应力计算的注意事项,（1）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩；以及所求的是该截面上哪一点的正应力，并确定该点到中性轴的距离。,材料力学,（2）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力最大。,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,材料力学,（3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩确定。,弯曲应力/纯弯曲时的正应力,（4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩，并且注意圆形截面与扭转时的极惯性矩的区别与联系。,材料力学,
5、5.3横力弯曲时的正应力,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,材料力学,现实中常见的弯曲问题多为横力弯曲,一.横力弯曲的特点,梁弯曲变形时，既有剪力又有弯矩。,梁弯曲变形时，横截面上不但有正应力还有切应力。,说法一：,说法二：,材料力学,纯弯曲时的正应力计算公式仍然适用于横力弯曲。,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,二.横力弯曲时正应力的计算,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,在弯矩最大的截面上，并且离中性轴最远处。,思考：何处正应力最大？,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,最大正应力为：,引入符号Wz：抗弯截面系数,则公式变为：,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,常见截面Wz的计算如
6、下：,b,h,竖放：,h,b,平放：,矩形截面,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,圆形截面,实心：,空心：,材料力学,三.弯曲正应力计算练习,简支梁如图所示，截面尺寸如图，单位为mm，求1-1截面上1、2两点正应力的大小，并求此截面上的最大正应力。,材料力学,思路分析：,求弯矩,求横截面对中性轴的惯性矩,确定待求点到中性轴的距离,代入公式,材料力学,四.弯曲正应力的强度条件,工作时的最大正应力必须小于等于许用应力,材料力学,应用强度条件可以解决三方面的问题：,1.校核强度,练习一：已知圆截面梁d=100mm，承受的最大弯矩为5KN.m，梁弯曲许用应力=100MPa，试校核梁的强度。,材料
7、力学,练习二：圆截面钢梁直径d=10mm，受力如图，梁的许用应力=160MPa，校核梁的强度。,材料力学,1.计算支座反力,材料力学,2.做弯矩图，确定最危险截面,等截面梁中，最大弯矩所在的截面即为危险截面。,材料力学,.对危险截面进行强度校核,材料力学,练习三：形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图，铸铁许用拉应力 t=30MPa，许用压应力c=160MPa，已知截面Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度。,材料力学,思路：,求出支座反力,做弯矩图，根据弯矩图和截面特性确定出危险截面,分别校核危险截面的抗拉和抗压强度,材料力学,1.计算支座反力,材料力学,2.做弯矩图，确定最危险截面,T
8、型截面相对中性轴不对称，因此同一截面上的最大拉应力和最大压应力是不同的，正负弯矩的最大值处均可能是危险截面。,材料力学,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,材料力学,.对危险截面进行强度校核,B截面（最大负弯矩）：,C截面（最大正弯矩）：,结论：梁的强度满足条件，是安全的。,材料力学,选择题：设计钢梁时，宜采用中性轴为（）的截面，设计铸铁梁时，宜采用中性轴为（）的截面。,（A）对称轴；,（D）对称或非对称轴。,（B）偏于受拉边的非对称轴；,（C）偏于受压边的非对称轴；,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,相似题目课本146页例5.3,（考研要求）,材料力学,2.设计截面尺寸,已知梁
9、承受的最大弯矩为5KN.m，弯曲许用应力=100MPa，如果采用实心圆截面，试设计最合理的截面尺寸。,应用强度条件可以解决三方面的问题：,材料力学,3.确定许可载荷,应用强度条件可以解决三方面的问题：,练习一：已知圆形截面梁直径d=100mm，梁的弯曲许用应力=100MPa，确定梁能承受的最大弯矩。,材料力学,练习二：螺栓压板夹紧装置如图,已知板长3a=150mm，压板的弯曲许用应力s140MPa,试计算压板传给工件的最大允许压紧力F。,材料力学,1.做弯矩图，确定最危险截面,材料力学,2.对危险截面进行强度校核,思考：截面的Iz如何计算？,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,相似题目课本
10、144页例5.1,材料力学,弯曲应力/横力弯曲时的正应力,完成课本145页例5.2,思路：,做出卷筒心轴的简化图,求出支座反力,画出弯矩图,根据弯矩图和截面特性确定出危险截面,分别校核危险截面的强度,材料力学,5.4 弯曲切应力,弯曲应力/弯曲切应力,材料力学,弯曲应力/弯曲切应力,横力弯曲时，既有弯矩又有剪力，因此横截面上既有正应力又有切应力。,材料力学,弯曲应力/弯曲切应力,1.矩形截面切应力的计算公式,横截面上任意一点到中性轴的距离,一.矩形截面梁的切应力,材料力学,矩形截面梁横截面上的切应力大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。,弯曲应力/弯曲切应力,2.矩形截面切应力的分布规律,材料力学
11、,弯曲应力/弯曲切应力,对比横力弯曲正应力和切应力的分布：,正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，同时存在正应力和切应力。,材料力学,弯曲应力/弯曲切应力,二.矩形截面梁弯曲切应力的强度条件,一般来说，满足弯曲正应力强度条件的梁都能满足切应力强度条件。,弯曲强度校核仅满足正应力强度条件即可。,材料力学,5.6提高弯曲强度的措施,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,材料力学,思考：设计梁的主要依据是什么？,弯曲正应力的强度条件,提高弯曲强度的措施：,材料力学,一.合理安排梁的受力情况，尽量减小Mmax值,1.载荷尽
12、量靠近支座,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,材料力学,材料力学,2.将集中力分解为分力或均布力,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,材料力学,3.减小支座跨度或增加支座,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,材料力学,（1）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截 面更合理。,1.根据正应力分布的规律选择,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,二.选择合理截面,材料力学,（2）可在中性轴附近开孔。,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,材料力学,（1）在相同面积的前提下，选择WZ较大的截面。,弯曲应力/提高弯曲强度的措施,2.根据Wz选择,材料力学,北宋李诫于1100年著营造法式一书中指出：矩形截面梁的合理高宽比h:b
13、=3:2，试用弯曲正应力强度理论说明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述比例接近于最佳比值。,（2）相同形状的截面，选择WZ较大的。,材料力学,弯曲正应力的强度条件,材料力学,英（T.Young）于1807年著的自然哲学与机械技术讲义一书中指出：矩形截面梁的高宽比h:b=1.414时，梁的弯曲强度最大。,北宋李诫于1100年著营造法式一书中指出：矩形截面梁的合理高宽比h:b=3:2，试用弯曲正应力强度理论说明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述比例接近于最佳比值。,材料力学,.充分考虑自重的影响,伽利略参观威尼斯一家兵工厂，观察了一些几何相似的结构物，加以分析研究，得出了结论：如果物体几何相似，则尺寸越大，强度越弱，这完全是自重所起的作用，他在著作里写道一只小狗可以在它背上驮两三只同样大小的狗，但我相信一匹马也许连一匹和它同样大小的马都驮不起。,材料力学,伽利略,采用变截面梁,材料力学,三.合理的选材,选择高强度材料，提高许用应力。,注意：,更换材料，原料费用会发生很大的改变！,材料力学,本章总结,1.如何区分纯弯曲和横力弯曲；,2.弯曲正应力的计算公式；,3.弯曲强度条件及其可以解决的三类问题；,4.提高弯曲强度的措施。,
