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1、1.8 线性代数,一、行列式,二、矩阵,三、n 维向量,四、线性方程组,五、矩阵的特征值和特征向量,六、二次型,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用 表示，且,1.阶行列式概念,1.8.1 行列式,全排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列,在一个排列 中，若数，则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,逆序数,n阶行列式的定义,余子式与代数余子式,2.n阶行列式的性质,3.克拉默法则,定理,定理,4.行列式计算,二阶、三阶行列式用对角线法,利用行列式性质化为上下三角,利用展开定理降阶,P
2、54 例1-49,1-50,例1,解,方程左端,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,例3,1.8.2 矩阵,1.矩阵的概念,记作,简记为,同型矩阵与矩阵相等,1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.,2.几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,称为对角矩阵(或对角阵）.,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作 或.,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵,称为单位矩阵（或单位阵）.,(6)对称矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果A的元素满
3、足 那末 称为对称阵.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,性质,称为矩阵 的伴随矩阵.,(7）伴随矩阵,1)加法,设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作，规定为,3.矩阵的运算,2)数与矩阵相乘,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,并把此乘积记作,3)矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵，是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵，其中,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.,例4,注：（1）矩阵乘法一般不满足交换律；,（其中 为数）;,若A是 阶方阵，则 为A的 次幂，
4、即 并且,（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1）,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作.,例,4）矩阵的转置,转置矩阵的运算性质,注：若A为对称阵，则,5）方阵的行列式,定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,6）逆矩阵,定理1 方阵 可逆的充要条件是，且,二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。,逆矩阵的运算性质,解：,P57 例1-51,定义1,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,5.矩阵的初等变换,定义2 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换
5、类型相同,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),逆变换,逆变换,逆变换,初等变换的作用,1)求逆矩阵,2)求矩阵和向量组的秩,3)解线性方程组,6.矩阵的秩,求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例6,解,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,1.8.3 n 维向量,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,1.向量及向量组的概念,2.向量组的线性相关性,1)线性组合,2)一个向量能由一个向量组线性表示,3)两个向量组等价,定理1,解：考虑,定义,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,由定义可
6、得：,1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。,2、含零向量的向量组一定线性相关。,3、单个非零向量一定是线性无关。,4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。,定理2,解,例8,定理,（1）部分相关整体相关。,（2）线性无关的向量组，将分量 延长后仍然线性无关。,（3）m 个n 维向量，当维数n 小 于向量个数m 时一定线性相关。,3.最大无关组与向量组的秩,定义,注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.,推论1,推论2,1.8.4 线性方程组,1.线性方程组有解的判定条件,基础解系的定义,2.线性方程组解的结构,其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,3.线性方程组的解法,例9 求解齐次线性方程组,解,即得与原方程组同解的方程组,由此即得,例10 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵B进行初等变换,故方程组有解，且有,所以方程组的通解为,1.8.5 矩阵的特征值和特征向量,1.定义,2.求矩阵特征值与特征向量的步骤：,3.特征值、特征向量性质,（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关。,解,例11,
