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1、,第三章 微分中值定理与导数的应用,第三章 微分中值定理与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,Rolle(1652 1719),French,证,费马引理,导数为零的点称为函数的驻点或稳定点、临界点,据极限的局部保号性，得,从而,注意,几何解释,罗尔,证：,由罗尔定理知，,事实上，,解:,注：,罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立.,例如,又例如,x=0不可导,又如,应用:罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其与某函数的一阶导数有关的方程.,例2,证：,由零点定理知，,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,结论:可微函数在任意两个零点之间至少有其导函数的一个零点,存在唯一,二、Lagr
2、ange中值定理,拉格朗日,几何解释:,分析:,弦AB方程为,证,弦AB方程为,构造辅助函数,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值公式精确表达了函数在一区间上的增量与函数在该区间内某点处一阶导数之间的关系.,注:,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,注意：,1）ba 上述公式也成立；,2）若f（b）=f（a）时，即为罗尔定理；,比较：,推论1,推论2:,证：,例4,证：,由上式得,方法：构造函数、选区间、应用定理、放大缩小,说明：,拉格朗日中值定理：,柯西中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,柯西,柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,注:
3、,例5,证：,结论可变形为:,Lagrange(1736 1813),法国数学家、力学家、天文学家。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。他是18世纪对微积分基础的严格化做出尝试的主要代表人物之一，他承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，并主张用泰勒级数来定义导数，由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。另外，他在代数学、微分方程、数论、方程论、无穷级数等领域都做出了重要贡献，堪称法国最杰出的数学大师。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。,返回,Cauchy(1789 1857),法国伟大的数学家、力学家。他对数学的贡献主要集中在微分学，复变函数，微分方程方面。关于微积分最具代表性的著作是他的分析教程(1821)、无穷小计算教程(1823)以及微分计算教程(1829)，它们以微积分的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。一生发表论文800余篇，著书7本，柯西全集共有27卷，是仅次于欧拉的多产数学家。,返回,作 业,P134 6，8，10，14,
