正方形的性质与判定-完整.ppt

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1、正方形,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,情景一,新知探究,创设情景,问题:,从这个图形中你想到了什么？,菱形,正方形,一个角是直角的菱形,想一想：正方形是怎样的菱形？,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,情景二,新知探究,A,B,C,D,情景二,新知探究,A,B,C,D,A,B,邻边相等的矩形,想一想：正方形是怎样的矩形？,矩形,正方形,新知探究,有一个角是直

2、角,有一组邻边相等,回忆,如何在平行四边形的基础上来定义正方形,给正方形下个定义,定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形,菱形,矩形,平行四边形,平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系,正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,正方形的性质=,回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列,对边平行且相等,四条边相等,对边平行且四条边相等,对角相等,四个角都是直角,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等,对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角,对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,既是中心对称图

3、形又是轴对称图形,既是中心对称图形又是轴对称图形,图形,性质,分类,正方形,类比归纳,角：四个角都是直角,图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.,正方形的性质,A,C,D,B,A,C,D,B,A,C,D,B,O,对边平行，四条边都相等,四 个 角 都是直角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,四边形ABCD是正方形ABCD ADBC,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形A=B=C=D=90,四边形ABCD是正方形ACBD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,轴对称图形 中心对称图形,二、正方形的性质的应用,例1、如图，正方形ABCD中，（1）一条对角线把它分成

4、 个全等的三 角形。,问：这些三角形是什么三角形？,（2）两条对角线把它分成 个全等的 三角形。,2,4,等腰直角,A,B,D,C,O,（3）对角线AC与正方形的一边所成的角为 度。,45,例2、如图，正方形ABCD中，,正方形的面积为64平方厘米，则正方形对角线AC=。,试一试，相信你很棒！,1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角,C,2.已知正方形的一条边长为2cm,则这个正方形的周长为,对角线长为,面积为.,8cm,3.正方形的对角线和它的边所成的角是 度.,45,4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它

5、的边长为，面积为。,5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一点,PEAC,PFBD,E、F为垂足,则PE+PF=。,5cm,A,B,C,D,F,P,E,O,例,求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.,A,D,C,B,O,已知:如图,四边形ABCD是正方形,对 角线AC、BD相交于点O.,求证:ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形.,证明:四边形ABCD是正方形,ACBD,即AOB=BOC=COD=DOA=90AO=BO=CO=DO.ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形,并且 ABO BCO CDO DAO(SAS)

6、,A,D,C,B,O,正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？,拓展讨论:,结论：分成八个等腰直角三角形，分别是ABC、ADC、ABD、BCD；AOB、BOC、COD、DOA.,你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,有一组邻边相等,有一个角是直角,有一组邻边相等,有一个角是直角,平行四边形,有一个角是直角,有一组邻边相等,图形之间的变化关系,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,定义法,判断四边形是正方形有哪些方法？,、先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等,、先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角,、先说明它是平行四边形

7、，再说明有一组邻边相等，并且一个角是直角。,（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）,（邻边相等的矩形是正方形）,（有一个角是直角的菱形是正方形）,四条边相等，四个角都是直角,对角线互相垂直、平分且相等,以四边形为基础：,既是菱形又是矩形的四边形是正方形。,巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形？,四个角都相等的四边形是正方形；()四条边都相等的四边形是正方形；()对角线相等的菱形是正方形；()对角线互相垂直的矩形是正方形；()对角线垂直且相等的四边形是正方形;()四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形.(),已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别

8、在AB、BC、CD、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,例题教学,证明：四边形ABCD是正方形 ABC=BCD=90；AB=AD=DC=BC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）又 AE=BF=CG=DH AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF AEHBFECGF DHG EH=EF=FG=GH 四边形EFGH是菱形 又 3+2=90且 13 1+2=90 EFG=90 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是矩形）,练习.如图，四边形是正方形，、分别是四边的中点。你知道四边形EFGH的形状吗？为什么？,请发表你

9、的见解，谈谈你的收获！,小结,知识拓展:与同学讨论后填写下表：,几种特殊四边形的性质,对边平行 且相等,对边平行 且相等,对边平行，四边都相等,对边平行，四条边 都相等,对角相等，邻角互补,四个角都是直角,对角相等，邻角互补,四个角都是直角,对角线互相平分,对角线相等且互相平分,对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角,对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角,中心对称图形,轴对称图形、中心对称图形,轴对称图形、中心对称图形,轴对称图形、中心对称图形,5种识别方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直

10、角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,挑战自我,(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的 等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（）,快速反应,判断题:,（6）正方形一定是矩形（）（7）正方形一定是菱形（）（8）菱形一定是正方形（）（9）矩形一定是正方形（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形（）,（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴(

11、),(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形(),正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.,B,D,选择题:,3、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,4四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形,5在四边形ABCD

12、中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD,C,A,6 四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为 cm。,7.5,试一试,4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，则AC=,正方形的面积S=_.,练一练,2,2,4,6,36,5.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC6 cm，面积S=_.则边长AB_,5、已知四边形ABCD是平行四

13、边形，对角线AC、BD相交于点O。,若AB=BC，则四边形ABCD是（）若AC=BD，则四边形ABCD是（）若BCD=900，则四边形ABCD是（）若OA=OB，则四边形ABCD是（）若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？,解：BE=DE.因为 对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以 BE=DE,已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。,求证：ABO BCO CDO ADO,例1、求证：正方形的两条对角

14、线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形。,3如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，,分析：要证明BMCN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?,MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，,求证：BMCN。,你能完成证明吗?,ABBC，1245 条件够吗？,还需要的条件是 AMBN,ABMBCN,你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?,由正方形可以得到的条件有：,例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MNAB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BMCN。,证明：,OAOMOBON,OMON,OMN13ONM45,又MNAB,12345,OAOB AB=BC,四边

15、形ABCD是正方形,即：AM=BN,ABMBCN,BM=CN,例3、直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，DEAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（),DE=DF(),DEAC，DFBC,CD平分ACB,四边形ABCD为矩形(),而ACB=90,DEC=90，DFC=90,证明：DEAC，DFAB,有三个角是 直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,4已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线 上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,分析：欲证MFD45，由于MDF是直角三角形,只须证MDF是等腰三角形,即

16、只要证 _=_,要证MDFD，大家只须证得哪两个三角形全等?,试一试看能不能完成证明?,CMDADF,例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明：,DM=DF,RtCDMRtADF(AAS),又CDAD，ADFMDC=Rt,12,CMDAME,ADCAEM90,CEAF 四边形ABCD是正方形,MFD45,1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证：(1)ACFDCB(2)BHAF,练一练,2、如图(6)，ABC的外面作正方形ABDE和ACF

17、G，连结BG、CE，交点为N。求证：CEAABG,证明：四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。AEABAGAC1290又EAC1BAC90BACBAG2BAC90BAC EACBAG AECABG(SAS)CEAABG,3、在正方形中，点，分别在，上，且.四边形是正方形吗？为什么？,4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。,5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求AFC的度数。,6、在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件

18、,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明),1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,课外拓展：,如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）,请你当设计师,1已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB2cm，如图(2)。,求：AC的长及正方形的面积S。,E,F,G,矩形EFCG的周长。,6、已知：如图矩形ABCD,对角线A

19、C、BD相交于点O，AE平分BAD交BC于点E，连接OE，若EAO=150，求BOE的度数。,7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PEAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值。,8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。,A,B,C,D,M,N,9、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。

20、,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。,10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN,（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。,F,P,思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方

21、形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。,探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？,探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM 与 BN之间的关系是否还成立？,构建与证明,O,B,A,如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD求证：四边形ABCD是正方形。,八年级 数学,第十九章 四边形

22、,数一数图中正方形的个数，你发现了什么？,多,多,多,（）个（）个（）个（）个,第n个图中正方形有 个,3n-1,长见识,八年级 数学,第十九章 四边形,四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求AOB,OAB的度数,8,解：四边形ABCD是正方形 ACBDAOB=900 BAC=DAC OAB=450,(2)若AC=4，则正方形边长;正方形的面积是,4,(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离,AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EFAC交BC于F.请说明：EC=EF=FB,解：四边形ABCD是正方形 B=900,ACB=450 AEF=900 AB=AE ABFAFE(HL）BF=EF 又FEC=900,ECF=45EFC=45,EC=EF（等角对等边）BF=EF=EC,2.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB，PFBC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EF,成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。-爱迪生,在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点-马克思,2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能求这矩形色块的面积吗？,课外拓展：,