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1、常数项级数的审敛法,一、正项级数的审敛法,二、任意项级数的审敛法,(一)正项级数及基本定理,(二)常用审敛法,一、正项级数的审敛法,(一)正项级数及其基本定理,若,则称,为正项级数.,即,(n=1,2,),趋于无穷或有极限,定义:,定理1.正项级数,收敛,证:,所以原级数收敛.,例1.,定理2.,(二)常用审敛法,1比较审敛法,强级数收敛,弱级数也收敛;,弱级数发散,强级数也发散.,证:,这与已知矛盾.,证毕.,利用级数的性质1、性质3和定理2可证明:,解:,调和级数,根据比较审敛法可知，,例2.,发散,结论:,由图可知,问题：如何使用比较审敛法？,(1)如果能把它的(从某项起的)各项,适当的
2、放大，,使放大后的级数是已知收敛的正项级数时，那么就,(2)如果能把,的(从某项起的)各项,(保持非负),可判断 是收敛的;,使缩小后的级数是已知发散的正项级数时,那么就可判断 是发散的.,适当地缩小,当需要判别一个正项级数 是否收敛时，,发散,例3.,解:,例4.,解:,原级数发散.,(2),原级数收敛,则,两个级数同时收敛或发散;,(2)当 l=0 时,(3)当 l=时,设两正项级数,满足,(1)当 0 l 时,2.比较审敛法的极限形式,定理3.,问题:,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散;,(3)当l=时,根据(2)可知,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知,收敛,若,证
3、:据极限定义,矛盾.,证毕.,解:,由定理3 知,例5.,解:,故级数收敛.,例6.,则,极限审敛法：,在定理3中取:,解:,故所给级数发散.,例7.,解:,故所给级数收敛.,例8.,说明：用比较审敛法来判断正项级数的敛散性时,比较审敛法虽然有时是很方便的,但使用该方法时需要,另外找到一个适当的正项级数作为参考级数.在实践上,找到一个参考级数,往往不是一件轻而易举的事.,问题：能否不必另外寻找参考级数,而从级数本身,判断它是否收敛？,常用的参考级数有:,等比级数、p-级数、调和级数.,比较审敛法的不便之处:,证:,定理4.,3.比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法),设,为正项级数,且
4、,则,(1)当,(2)当,时,级数收敛;,或,时,级数发散;,(3)当 时级数可能收敛也可能发散.,故原级数收敛.,例如,故原级数发散.,如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？,是因子的乘积形式且,中含有,时,用比值法较方便.,则无法判断级数的敛散性；,一般的,当正项级数的一般项,解:(1),例9.,(2),解:,例10.,比值审敛法失效,改用比较审敛法.,定理5.,4*.根值审敛法(柯西判别法),如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？,其内含有,根值判别法法失效；,或是一些因子的乘积，,解:(1),级数收敛.,例11.判断下列级数的敛散性:,级数收敛.,(2),内容小结,正项级数审敛法,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,部分和极限,练习:判断下列正项级数的敛散性.,作业 P268:2;4;,
