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1、1.4 全称量词和存在量词,一、全称量词和存在量词,1全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示,新课讲解,(2)全称命题：定义：含有全称量词的命题，叫做全称命题一般形式：全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题,2存在量词和特称命题(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并且符号“”表示,(2)特称命题：定义：含有存在量词的命题，叫做特称命题一般形式：特称命题“存在M中的元素x0，使
2、p(x0)成立”可用符号简记为x0M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”,1“a，则a平行于内任一条直线”是()A真命题 B全称命题C特称命题 D不含量词的命题解析：命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题答案：B,概念理解,常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等,解析：如x0时，x20，满足x20.答案：B,解析：当x0时，0N，但01.故“xN，x1”是假命题答案：B,4下列命题：偶数都可以被2整除；角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；正四棱
3、锥的侧棱长相等；有的实数是无限不循环小数；有的菱形是正方形；存在三角形其内角和大于180.既是全称命题又是真命题的是_，既是特称命题又是真命题的是_(填上所有满足要求的序号),解析：是全称命题，是真命题；是全称命题，是真命题；是全称命题，即：任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；是特称命题，是真命题；是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180.答案：,5用符号“”或“”表示下面的命题，并判断真假：(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x，y)，使2xy10成立；(3)勾股定理,解：(1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”xR，x20
4、.是真命题(2)xR，yR,2xy10，是真命题如x0，y2时：2xy102110成立,(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理即RtABC，a，b为直角边长，c为斜边长，a2b2c2.是真命题,例题讲解,1.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断它们的真假(1)对任意的xR，x2x10都成立(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除(3)对数函数都是单调函数(4)xR，x23x20.,跟踪练习,解：(1)全称命题，因为x0时，x2x110，故是假命题(2)特称命题，是真命题，比如10既能被2整除，又能被5整除(3)全称命题，是真命题(4)全称命题，是假命题，因为只有x2
5、或x1时满足,类型二、全称命题与特称命题的表述例2(1)设集合S四边形，p(x)：内角和为360.试用不同的表述写出全称命题“xS，p(x)”(2)设q(x)：x2x，试用不同的表达方法写出特称命题“xR，q(x)”,例题讲解,解(1)依题意可得以下几种不同的表述：对所有的四边形x，x的内角和为360；对一切四边形x，x的内角和为360；每一个四边形x的内角和为360；任一个四边形x的内角和为360；凡是四边形x，它的内角和为360.,1.用全称量词或存在量词表示下列语句(1)n边形的内角和等于(n2)180；(2)两个有理数之间，都有一个有理数；(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0.,跟
6、踪练习,解：(1)一切n边形的内角和都等于(n-2)180；(2)任意两个有理数之间，都有一个有理数；(3)存在一个实数x，它乘以任意一个实数都等于0.,例题讲解,解析由于xR，都有x20，因而有x2220，即x220.所以命题“xR，x220”是真命题由于0N，当x0时，x41不成立所以命题“xN，x41”是假命题,答案,跟踪练习,类型四、全称命题与特称命题的应用例4函数f(x)对一切实数x、y均有f(xy)f(y)(x2y1)x成立，且f(1)0.(1)求f(0)的值；(2)在(0,4)上存在实数x0，使得f(x0)6ax0成立，求实数a的取值范围,例题讲解,解(1)由已知等式f(xy)f
7、(y)(x2y1)x，令x1，y0，得f(1)f(0)2，又因为f(1)0，所以f(0)2.(2)令y0，则f(xy)f(y)f(x)f(0)f(x)2(x201)xx2x，f(x)6x2x4.,1.已知函数f(x)x22x5.(1)是否存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，并说明理由(2)若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)0成立，求实数m的取值范围,跟踪练习,解：(1)不等式mf(x)0可化为mf(x)，即mx22x5(x1)24.要使m(x1)24对于任意xR恒成立，只需m4即可故存在实数m，使不等式mf(x)0对于任意xR恒成立，此时，只需m4.,(2)不等式mf(x
8、0)0可化为mf(x0)，若存在一个实数x0，使不等式mf(x0)成立，只需mf(x)min.又f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所以，所求实数m的取值范围是(4，),二、含有一个量词的命题的否定,1全称命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：xM，p(x)，它的否定綈p：x0M，p(x0)全称命题的否定是特称命题如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在一个正方形不是矩形”其中，把全称量词“所有的”变为存在量词“至少存在一个”,新课讲解,2.特称命题的否定：一般地，对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：x0M，p(x
9、0)，它的否定綈p：xM，p(x)特称命题的否定是全称命题如：“存在一个实数x，使得x2x10”的否定为“对所有实数x，都有x2x10”，其中，把存在量词“存在一个”变为全称量词“对所有的”,概念理解,答案：C,2命题“存在x0R,2x00”的否定是()A不存在x0R,2x00B存在x0R,2x00C对任意的xR,2x0D对任意的xR,2x0解析：原命题为特称命题，其否定为全称命题答案：D,3(2010安徽高考)命题“存在xR，使得x22x50”的否定是_答案：对于任意的xR，都有x22x504命题“xR,3x22x10”的否定是_答案：xR,3x22x10,5写出下列命题的否定(1)所有的矩
10、形都是平行四边形；(2)xR，x22x10；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)xR，x210.,解：(1)否定：有的矩形不是平行四边形(2)否定：xR，x22x10.(3)否定：任意实数的绝对值都不是正数(4)否定：xR，x210.,类型一、全称命题的否定例1判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数,例题讲解,解(1)是全称命题且为真命题p：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形且它的内角和不等于180.(2)是全称命题且为假命题p：存在一个二次函数的图象开口
11、不向下,(3)是全称命题且为真命题p：存在一个平行四边形的对边不都平行(4)是全称命题且为真命题p：某个负数的平方不是正数,注意：1.全称命题的否定是特称命题因为要否定全称命题“xM，p(x)成立”，只需在M中找到一个x，使得p(x)不成立，也即“x0M，p(x0)成立”2要证明一个全称命题是假命题，只需举一个反例,3有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”，如第(4)小题，将否定写成“负数的平方不是正数”就错误了，因为这个命题也是全称命题，是假命题,1.写出下列命题的否定，并判断其真假(1)任何一个素数是奇数(2)所有同学学习都很努力(3)a，bR，方程axb
12、都有惟一解(4)可以被5整除的整数，末位是0.,跟踪练习,解：(1)是全称命题，其否定为：存在一个素数，它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否定是真命题(2)是全称命题，其否定为：有的同学学习不努力。,(3)是全称命题，其否定为：a，bR，使方程axb的解不惟一，真命题(4)是全称命题，其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0，因为15能被5整除，其末位为5，因此其否定是真命题,例题讲解,解(1)p：x1，x22x30.(2)p：若an2n10，则nN，有Sn0.(3)p：a、b是异面直线，则Aa，Bb，有AB不与a垂直，或不与b垂直点评特称命题“x0M，p(x0)”的否定是“xM，p
13、(x)”遇到“且”命题否定时变为“或”命题，遇到“或”命题否定时，变为“且”命题,解：(1)p：xR，|x1|1；(2)p：xR，x23x40.,跟踪练习,例题讲解,1.对下列命题的否定，说法错误的是()Ap：能被3整除的整数是奇数p：存在一个能被3整除的整数不是奇数Bp：每一个四边形的四个顶点共圆p：存在一个四边形的四个顶点不共圆,跟踪练习,Cp：有的三角形为正三角形p：所有的三角形都不是正三角形Dp：xR，x22x20p：当x22x20时，xR,解析：根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题可知，选项D中，p的否定应为：p：xR，x22x20.答案：D,类型四、求参数的取值范围例4若r(x)：sinxcosxm，s(x)：x2mx10，如果xR，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围,例题讲解,1.已知命题p：“对xR，mR，使4x2xm10”若命题p是假命题，则 实数m的取值范围是()A2m2 Bm2Cm2 Dm2或m2,跟踪练习,答案：C,
