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1、自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，介子等。同一类粒子具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自旋，磁矩，寿命等.,粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性.,在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同（identical）粒子.,4.5.1 全同粒子的交换对称性,全同粒子组成的多体系的基本特征是：任何可观测量，特别是Hamilton 量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性.,例如氦原子中两个电子组成的体系,Hamilton量为,当两个电子交换时，显然不变，即 是两个电子交换的算符,亦即,对于全同粒子多体系,任何两个粒子交换
2、一下,其量子态是不变的,即要求该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性.,那么,在忽略粒子相互作用的情况下,如何去构造具有完全交换对称性或反对性的波函数?,接下来我们将对这问题做一般的讨论.考虑N个全同粒子组成的多体系的情况.,对于有 个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数 描述,表示每一个粒子的全部坐标(例如包括空间坐标与自旋坐标).表示第 粒子与第 粒子的全部坐标的交换，即,由于所有粒子的内禀属性完全相同，和 这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数因子,即,用 再运算一次，得,显然，所以，因而,代入式（2），可看出，有（而且只有）两个
3、本征值，即.即全同粒子系的波函数必须满足下列关系之一,注意，对于全同粒子系,式中.凡满足 的，称为对称波函数；满足 的,称为反对称波函数.,所有 都是守恒量.,所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称.,实验表明,凡自旋为 的整数倍 的粒子，波函数对于两粒子交换总是对称的，称为Bose子.例如介子，光子.,凡自旋为 的半奇数倍 的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为Fermi子.例如电子，质子，中子等.,对于给定的一类全同粒子,其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的,而且与粒子的自旋有确定的关系.,设有两个全同粒子(
4、忽略它们的相互作用)，Hamilton 量表示为,4.5.2 两个全同粒子组成的体系,这种与交换相联系的简并,称为交换简并.但这两个波函数还不一定具有交换对称性.,在上式中，为单粒子能量,为相应的归一化单粒子波函数,代表一组完备的量子数.,设两个粒子中有一个处于 态,另一个处于 态,则 与 对应的能量都是,对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的.这里要分两种情况：,是归一化因子,（b),归一化波函数为,（a），归一化的对称波函数可如下构成,对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成,著名的Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子处于同一单粒子态（这
5、里 k 代表足以描述Fermi 子量子态的一组完备的量子数，特别要注意：对于有自旋的粒子，必须包含描述自旋态的量子数）.,在上式中,若，则，即这样的状态是不存在的.,先考虑三个无相互作用全同Fermi 子组成的体系.,设三个粒子处于三个不同的单粒子态,和,则反对称波函数可表示为,4.5.3 N个全同Fermi子组成的体系,其中,称为反对称化算符.,类似可以推广到N个全同Fermi子组成的体系.设N个Fermi子分别处于 态下，则反对称波函数可如下构成,P 代表N个粒子的一个置换(permutation).N 个粒子分别排列在N个单粒子态上,共有N！个置换（包括恒等变换 I）。,在上式中,称为反
6、对称化算符.,从标准排列 经过各种可能的置换P，得到 一共得出N！项，即行列式展开后得出的N!项.,Bose 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态.设有 个Bose子处于 态上，这些 中，有些可以为0，有些可以大于1.此时，对称的多粒子波函数可以表示成,4.5.4 N个全同Bose子组成的体系,因此，归一化的对称波函数可表示为,最后应当指出，全同粒子体系的波函数的这种表达方式是比较繁琐的.描述全同粒子体系的量子态更为方便的理论形式是所谓的二次量子化(second quantization)方法，即粒子填布数（occupation number）表象.,这些知识我们将在高等量子力学中学习!,
