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1、第四章 平面问题的极坐标解答,要点：,（1）极坐标中平面问题的基本方程：,平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件,（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用,应用：,圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。,4-1 极坐标中的平衡微分方程,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,4-4 应力分量的坐标变换式,4-5 轴对称应力与相应的位移,4-6 圆环或圆筒受均布压力,4-7 压力隧洞,4-8 圆孔的孔口应力集中,4-9 半平面体在边界上受法向集中力,4-10 半平面体在边界上受法向分布力,主 要 内 容,4-1 极坐标中的平
2、衡微分方程,1.极坐标中的微元体,体力：,应力：,PA 面,PB 面,BC 面,AC 面,应力符号规定：,正应力 拉为正，压为负；,剪应力 r、的正面上，与坐标方向一致时为正；,r、的负面上，与坐标方向相反时为正。,2.平衡微分方程,考虑微元体平衡（取厚度为1）：,将上式化开：,两边同除以：,两边同除以，并略去高阶小量：,剪应力互等定理,两边同除以,当 dr,dq 0 时，有,于是，极坐标下的平衡微分方程为：,（41）,方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。,4-2 极坐标中的几何方程与物理方程,1.几何方程,(1)只有径向位移，无环向位移
3、。,径向线段PA的相对伸长：,（a）,径向线段PA的转角：,（b）,线段PB的相对伸长：,（c）,环向线段PB的转角：,（d）,径向线段PA的相对伸长：,（a）,径向线段PA的转角：,（b）,环向线段PB的相对伸长：,（c）,环向线段PB的转角：,（d）,剪应变为：,（e）,(2)只有环向位移，无径向位移。,径向线段PA的相对伸长：,（f）,径向线段PA的转角：,（g）,环向线段PB的相对伸长：,环向线段PB的转角：,（h）,（i）,剪应变为：,（j）,径向线段PA的相对伸长：,（f）,径向线段PA的转角：,（g）,环向线段PB的相对伸长：,（h）,环向线段PB的转角：,（i）,剪应变为：,（
4、j）,(3)总应变,整理得：,（42）,极坐标下的几何方程,2.物理方程,平面应力情形：,平面应变情形：,（43）,（44）,由于极坐标与直角坐标均为正交坐标，故物理方程具有同样形式：,位移边界条件：,应力边界条件：,为边界上已知的位移分量。,为边界上已知的面力分量。,3.边界条件,特别地，对r=常数的边界，应力边界条件简化为：,对q=常数的边界，应力边界条件简化为：,取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：,弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：,平衡微分方程：,几何方程：,物理方程：,(平面应力情形),边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：,(1)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力
5、分量,（48）,4-4 应力分量的坐标变换式,(2)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量,（49）,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,1.直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）,无体力情形下：,应力函数表示的相容方程,（1）极坐标下应力分量 与应力函数 的关系；,（2）极坐标下应力函数 表示的相容方程的形式。,本节要点：,（1）极坐标与直角坐标间的关系：,（2）应力分量的坐标变换：,2.极坐标下的应力分量与变形协调方程（相容方程）,(a),(b),(c),再由应力分量的坐标变换式：,比较以上两组表达式后，立即可得：,（45）,可以证明：式（45）满足体力为零时的平衡微分方程（
6、41）。,（3）相容方程的坐标变换：,极坐标下应力分量 与应力函数 的关系：,直角坐标下Laplace 算子,在极坐标下Laplace 算子的形式？,(a),(b),将式(a)与(b)相加，得,（3）相容方程的坐标变换：,得到极坐标下的 Laplace 微分算子：,极坐标下的相容方程为：,（46）,方程（46）为体力为零情形的相容方程。,注意：,极坐标下应力函数表示的相容方程,弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:,小结：,（1）,由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,（2）,由式（45）求出相应的应力分量,（45）,（3）,位移边界条件：,应力边界条件：,对多连体，有时须考虑位移
7、单值条件。,（4）,轴对称应力问题：,（46）,由式（45）和（46）得应力分量和相容方程为：,（410）,应力分量：,相容方程：,四阶变系数的常微分方程,4-5 轴对称应力与相应的位移,（411）,轴对称应力问题的应力函数，其中:A、B、C、D 为待定常数。,1、应力分量,将方程（4-11）代入应力分量表达式,（412）,轴对称应力的表达式,对上式积分四次，得:,2.位移分量,对于平面应力问题，有物理方程,（a）,积分式（a）中第一式，有,故应力轴对称时，形变也是轴对称的。,（b）,为待定函数,将式（b）代入式（a）中第二式，得,将上式积分，得:,（c）,为待定函数,将式（b）（c）代入式（
8、a）中第三式，得,或写成：,要使该式成立，两边须为同一常数。,（4-13）,（d）,（e）,式中F 为常数。由式（d）有：,（f）,对式（e）两边求导,其解为：,（g）,（h）,将式（f）（g）（h）代入式（b）（c），最后得,（b）,（c）,其中 H 为常数。,应力轴对称问题小结：,（411）,（1）,应力函数,（2）,应力分量,（412）,（3）,位移分量（平面应力）,（4-13）,式中：A、B、C 由应力边界条件、位移单值条件确定，H、I、K 由位移边界 条件确定(H、I、K 项为刚体位移)。,若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则称为轴对称问题。这时，物体内的应力、位移都是轴
9、对称的。,（3）,位移分量（平面应力）,（4-13）,由式（4-13）可以看出：,应力轴对称时位移不一定是轴对称的。,仅当,这时由式（4-13）知轴对称位移为：,4-13（a）,轴对称位移的特征为：,时，位移才轴对称。,4-6 圆环或圆筒受均布压力,1.圆环或圆筒受均布压力,已知：,求：应力分布。,轴对称应力分量的表达式：,边界条件：,（a）,将式（4-12）代入，有：,（b）,式中有三个未知常数，二个方程不能确定。,对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。,要使位移单值，须有：B=0，代入式（b），解得,将其代回应力分量式（4-12），有：,（4-14）,（1）若：,（压应力）,（拉应力）,
10、讨论：,特别地，若,具有圆形孔道的无限大弹性体。,应力状态：,（2）若：,（压应力）,（压应力）,问题：,厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。,1.分析：,与以前相比较，相当于两个轴对称问题：,(a)受内压 q、外压 p 作用的厚壁圆筒；,(b)仅受内压 p 作用的无限大弹性体。,确定压力 p 的条件为，在接触面 r=b 上有：,径向位移连续：,径向应力连续：,2.求解,4-7 压力隧洞,注意：本例为平面应变问题。,2.求解,(1)圆筒的应力与边界条件,应力：,（a）,边界条件：,(2)无限大弹性体的应力与边界条件,应力：,（b）,边界条件：,将式（a）、（b）代入相应
11、的边界条件，得到如下方程：,4个方程不能解5个未知量，,再考虑位移连续条件：,上式也可整理为：,(c),(d),利用：,(e),要使对任意的 成立，须有,(f),对式（f）整理，有,(g),式（g）中：,将式（g）与式（c）（d）联立求解,（4-16）,当 n 1 时，应力分布如图所示。,讨论：,（1）,压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。,完全接触：,接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为,应力：,位移：,（2）,非完全接触：（例如光滑接触）,应力：,位移：,接触条件：,由于弹性体中存在小孔，使得孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，,4-8 圆孔的孔口应力集
12、中,1.孔边应力集中概念,称为孔边的应力集中。,应力集中系数：,应力集中程度主要与孔的形状有关（圆孔为最小），与孔的大小几乎无关。,2.孔边应力集中问题的求解,（1）问题：,带有圆孔的无限大板(B a)，圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。,求：孔边附近的应力。,孔边的应力集中是局部现象。,（2）问题的求解,问题分析,坐标系：,就外边界（直线），宜用直角坐标；,就内边界（圆孔），宜用极坐标。,取一半径 r=b(ba）作圆周，其上任一点 A 处的应力为：,原问题转化为：,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。,新问题的边界条件可表示为：,内边界,外边界,（a）,问题1,（b）,（c）
13、,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分：,问题1,问题1的解：,内边界,外边界,（b）,该问题为轴对称问题，其解为,当 ba 时，有,（d）,问题2的解：,问题2,（非轴对称问题）,内边界,外边界,(c),由边界条件（c），可假设：为 r 的某一函数乘以；为r 的某一函数乘以。,又由极坐标下的应力分量表达式：,可假设应力函数形式为：,将其代入相容方程：,特征根为：,方程的解为：,相应的应力分量：,对上述应力分量应用边界条件（c）：,（e）,令 a/b 0，求解A、B、C、D，得,代入应力分量式（e）,有,（f）,将问题1的解（d）和问题2的解（f）相加,得全解：,（4-17）,讨论：,（1）
14、,沿孔边，r=a，环向正应力：,（4-18）,（2）,沿 y 轴，=90，环向正应力：,基尔斯（G.Kirsch）解,（3）,沿 x 轴，=0，环向正应力：,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用,叠加后的应力：,（4-19）,注意：以上公式只对无限域中的圆孔才是精确的。但在实用上，只要弹性体边界距离孔洞足够远（三倍孔径以上），则上述公式仍足够精确。,（5）,任意形状薄板（或长柱）受面力作用，在距边界较远处有一小孔。,工程中近似计算孔边应力的方法：,先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量 sx、sy、txy；,再由应力分量 sx、sy、txy 求出相应的主应力 s、s 和主
15、方向a；,最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力 q1=s 及 q2=s，从而由前述的叠加法求得孔边应力。,圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结:,原问题的转换：,轴对称问题,非轴对称问题,4-9 楔形体在楔顶或楔面受力,1.楔顶受有集中力P作用,楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P，与中心线的夹角为，求：,（1）应力函数的确定,量纲分析法：,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,（a）,将其代入相容方程：,得：,四阶常系数齐次的常微分方程,其通解为：,其中A，B，C，D为积分常数。,将其代入前面的应力函数表达式：,（4-20）,（对应于无应力状态）,（2）应
16、力分量的确定,边界条件：,（1）,自然满足,（2）,楔顶的边界条件：,（b）,将式（b）代入，有：,积分得：,可解得：,代入式（b）得：,（4-21）,密切尔（J.H.Michell）解答,自然满足,此外，还有,三种特殊情况：,（1）,（2）,两种情况下的应力分布：,应力对称分布,应力反对称分布,（3）,无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用,2.楔顶受有集中力偶 M 作用,（1）应力函数的确定,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,将其代入相容方程：,（c）,（4-22）,（2）应力分量的确定,考虑到：,反对称载荷下，对对称结构有：,为奇函数；,而 则为偶函数。,由应力函数 与 关
17、系可知，,应为奇函数。即,将其代入应力分量表达式，得到,（d）,边界条件：,（1）,自然满足,（e）,（2）,代入应力分量表达式（d）,得：,（4-23）,英格立斯（C.E.Inglis）解答,说明：,另外两个楔顶的平衡条件自然满足。,楔顶的边界条件：,特殊情况：,说明：,前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶 M 的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。,前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。,3.楔形体一侧面上受有均布面力 作用
18、,（1）应力函数的确定,由应力函数与应力分量间的微分关系，,可推断：,将其代入相容方程：,（f）,得到：,该方程的解为：,（4-24）,（2）应力分量的确定,（g）,边界条件：,由此可确定4个待定常数。,可求得：,将常数代入应力分量表达式，有,（4-25）,特殊情况：,若用直角坐标表示，利用坐标变换式：,楔形体（尖劈）问题应力函数的构造小结：,4-10 半平面体在边界上受法向集中力,1.应力分量,由楔形体受集中力的情形，可以得到,（4-26）,极坐标表示的应力分量,利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得,（4-27）,或将其改为直角坐标表示，有,（4-28）,2.位移分量,直角坐标
19、表示的应力分量,假定为平面应力情形。,其极坐标形式的物理方程为,（4-29）,(a),(b),(c),积分式（a）得，,(d),将式（d）代入式（b），有,积分上式，得,(e),(d),(e),(c),要使上式成立，须有：,将式（d）(e)代入式（c）得，,可解得：,代入位移分量式（d）（e），有,式中，常数H、I、K 由位移边界条件确定。,(f),（J 为常数）,常数 I 须由铅垂方向（x方向）位移约束条件确定。,由式（f）得：,(g),由问题的对称性，有：,3.边界沉陷计算,M点的下沉量：,由于常数 I 无法确定，,所以只能求得的相对沉陷量。,为此，在边界上取,一基准点B，如图所示。,M点
20、相对于基准点B的沉陷为,简化后得：,（4-30）,称符拉芒（A.Flamant）公式。,对平面应变情形：,4-11 半平面体在边界上受分布压力,1.应力分量,设半平面体在边界 AB 一段上受有分布压力，其集度为q(x)。现在要求半平面体内任一点 M(x,y)处的应力。,将此式在 AB 区间上积分，得,对于上述问题，可利用上节“半平面体在边界上受法向集中力”的应力公式，通过叠加法求解。,由dP q(x)dx 在点 M 引起的应力为,（4-31）,式中，需将分布力集度 q 表示成 的函数，再进行积分。,2.边界点的相对沉陷,讨论均匀分布的单位压力的情形。,计算K 点相对于基点 B 的沉陷量：,(a
21、),q 为常数见P77。,(a),对 r 积分，即可求得K点的相对沉陷量。,当K点位于均布力之外时，沉陷量为,假定基点 B 取得很远，即 s 远大于 r，积分时可视 s 为常数，积分结果为：,(4-32),其中：,(b),(c),对平面应变情形：,若K点位于均布力之内，则取,平面问题极坐标求解方法小结,一.基本方程,1.平衡微分方程,（41）,2.几何方程,（42）,3.物理方程,平面应力情形,(43),4.边界条件,位移边界条件：,应力边界条件：,二、按应力函数求解的基本步骤,(1),由问题的条件求出满足式（46）的应力函数,（46）,(2),由式（45）求出相应的应力分量,（45）,(3)
22、,位移边界条件：,应力边界条件：,对多连体，有时须考虑位移单值条件。,(4),三、平面应力轴对称问题的求解,（412）,应力函数：,应力分量：,位移分量：,(4-13),（平面应力）,四、非轴对称问题的求解方法半逆解法,1.圆孔的孔边应力集中问题,原问题的转换：,轴对称问题,非轴对称问题,2.楔形体问题,由量纲分析法确定 应力函数的形式,（1）楔顶受集中力偶,（2）楔顶受集中力,（3）楔形体一侧受分布力,4.半平面问题,五、叠加法的应用,（1）有一薄壁圆筒的平均半径为 R，壁厚为 t，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,（2）已知圆环在 r=a 的内边界上被固定，在 r=b 的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。,课堂练习：,作 业,习题：4-6，4 7，4 8，4 9,作 业,习题：4-1，4 2，4 3,补充题：,列写下列平面问题的应力边界条件。,
