《ch5双曲型方程的差分方法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch5双曲型方程的差分方法.ppt（39页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、第五章双曲型方程的差分方程,第一节一阶线性常系数双曲型方程,采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：第一、对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂的双曲型方程（组）的基础。第二、尽管对流方程简单，但是通过它可以看到双曲方程在数值计算中特有的性质和现象。第三，利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以用来检验数值方法的效果和功能。第四、它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）以及非线性双曲方程领域。,几种典型的差分格式,迎风格式Lax-Friedrichs格式Lax-Wendroff格式Courant-Friedrichs-Lewy条件利用特征线构造差分格式隐式格式蛙跳格式,迎风格式的思
2、想:在对微商进行近似的时候,关于空间导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，于是有如下格式：,1、迎风格式,迎风格式的性质：,1、满足相容性，一阶精度，截断误差为：,2、条件稳定的，稳定性条件为：,3、条件收敛的，收敛条件为：,所以此格式绝对不稳定.,2、Lax-Friedrichs 格式,Lax-Friedrichs格式的性质：,1、满足相容性，一阶精度，截断误差为：,2、条件稳定的，稳定性条件为：,3、条件收敛的，收敛条件为：,两种格式的比较:,1、它们的精度都是一阶的精度,在实际应用中,L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向,而迎风格式却要考虑其走向.,注、如果迎风格式写成统一格式,
3、也不必考虑特征线走向，但多了绝对值的计算。,2、比较截断误差,L-F格式的右端项：,3、Lax-Wendroff格式,1960年Lax和Wendroff 构造了一个二阶精度的二层格式。构造的思想是利用Taylor展开式及方程本身。,代入上面的式子,于是有,得到：,略去高阶项得到差分方程：,Lax-Wendroff格式,利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：,Lax-Wendroff格式的性质：,1、满足相容性，二阶精度，截断误差为：,2、条件稳定的，稳定性条件为：,3、条件收敛的，收敛条件为：,4、Courant-Friedrichs-Lewy条件,由差分方程解的依赖区域与微分方程解
4、的依赖区域的关系导出的差分方程收敛的必要条件,注：即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域,注、Courant条件是保证稳定性（收敛性）的必要条件，而非充分条件。,例如：针对一维对流方程的差分格式的CFL条件（a0）,右偏格式：,显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，不满足CFL条件，所以格式不稳定。,左偏格式（迎风格式）：,实际上 也是稳定性的充分条件,中心格式：,格式不稳定,所以CFL条件不是稳定性的充分条件,Lax-Wendroff格式：,实际上 也是稳定性的充分条件,5、利用特征线构造差分格式,Beam-Warming格式,6、隐式格式,隐式中心,隐式中心格式的性质：
5、,1、满足相容性，对时间一阶，对空间二阶精度，截断误差为：,2、无条件稳定,3、无条件收敛,注、计算上需要人工边界条件,Grank-Nicolson格式的性质：,1、满足相容性，二阶精度，截断误差为：,2、无条件稳定,3、无条件收敛,注、计算上需要人工边界条件,7、蛙跳（leapfrog）格式,分析稳定性的Fourier方法适用于二层格式，所以 把 三层格式化为二层格式,注：容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以Neumann条件是满足稳定性的必要条件。,蛙跳格式的性质：,1、满足相容性，二阶精度，截断误差为：,2、条件稳定的，稳定性条件为：,3、条件收敛的，收敛条件为：,注：蛙跳格式形式简单，二阶精度格式。三层格式，需要二阶的起步格式，如Lax-Wendroff格式,
