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1、第3章 电阻电路的一般分析,3.1 电路的图,3.2 KCL和KVL的独立方程数,3.3 支路电流法,3.4 网孔电流法,3.5 回路电流法,3.6 结点电压法,本章要求:1.理解图、树、树枝、连枝的概念；2.掌握KCL和KVL独立方程数的确定；3.掌握各种电路方程的列写。,第3章 电阻电路的一般分析,本章分析方法:网络方程法1.选择电路变量（电流或电压）；2.根据KCL和KVL列写电路变量的独立程；3.联立方程组求解（复杂的方程组可用计算机求解）。,3.1 电路的图,图（graph，简写g)：由支路（线段）和节点（点）组成，即点和线的结合。,节点数 n=4；支路数 b=6,g,有向图：各支路
2、均赋以方向，作为该支路电流支路电压的参考方向（关联参考方向）。,有向图,注意:连通图不是唯一的!,连通图：图G的任意两节点间至少存在一条路径连通。,子图：图G的一部分，子图G1的每个节点和支路也是图G的节点和支路。,回路：是一连通的子图。当从起点回到原出发点的路径所经过的节点都相异时，则这条闭合路径就构成了图G的一个回路。,3-2 KCL与KVL的独立方程数,树：是一连通的子图，它包含了图的所有节点，但不包含回路。树支：树上的支路 树支数：n-1（移去一条支路带走一个节点，最后一条支路肯定由两个节点构成）,基本概念(n个节点，b条支路),树与树支，树不是唯一的,连支：属于图但不属于树支的支路连
3、支数：b-n+1,基本回路（单连支回路）：由一条连支和一组树支构成的回路。基本回路数=连支数=b-n+1=独立的KVL数,独立的KCL方程数：对有n个节点的电路，就有n个KCL方程。如果将n个节点电流方程式相加必得0=0，所以独立节点数最多为(n1)。可以证明：此数目恰为(n1)个。即 n个方程中的任何一个方程都可以从其余(n1)个方程推出 来。,独立节点：与独立方程对应的节点。任选(n1)个节点即为独立节点。,独立的KVL方程与独立回路的选取,回路1：u1+u2+u3=0回路2：u3+u4 u5=0回路3：u1+u5+u6=0,3-3 支路电流法,支路电流法：以支路电流为未知量、应用基尔霍夫
4、 定律（KCL、KVL）列方程组求解。,对上图电路支路数：b=3 结点数：n=2,回路数=3 单孔回路（网孔）=2,若用支路电流法求各支路电流应列出三个方程,1.在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路 标出回路循行方向。,2.应用 KCL 对结点列出(n1)个独立的结点电流 方程。,3.应用 KVL 对回路列出 b(n1)个独立的回路 电压方程（通常可取网孔列出）。,4.联立求解 b 个方程，求出各支路电流。,对结点 a：,例1：,I1+I2I3=0,对网孔1：,对网孔2：,I1 R1+I3 R3=US1,I2 R2+I3 R3=US2,支路电流法的解题步骤:,(1)应用KCL列(n-1
5、)个结点电流方程,因支路数 b=6，所以要列6个方程。,(2)应用KVL选网孔列回路电压方程,(3)联立解出 IG,支路电流法是电路分析中最基本的方法之一，但当支路数较多时，所需方程的个数较多，求解不方便。,例2：,对结点 a：I1 I2 IG=0,对网孔abda：IG RG I3 R3+I1 R1=0,对结点 b：I3 I4+IG=0,对结点 c：I2+I4 I=0,对网孔acba：I2 R2 I4 R4 IG RG=0,对网孔bcdb：I4 R4+I3 R3=US,试求检流计中的电流IG。,RG,支路数b=4，但恒流源支路的电流已知，则未知电流只有3个，能否只列3个方程？,例3：试求各支路
6、电流。,1,2,支路中含有恒流源。,可以。,注意：(1)当支路中含有恒流源时，若在列KVL方程时，所选回路中不包含恒流源支路，这时，电路中有几条支路含有恒流源，则可少列几个KVL方程。,(2)若所选回路中包含恒流源支路，则因恒流源两端的电压未知，所以，有一个恒流源就出现一个未知电压，因此，在此种情况下不可少列KVL方程。,(1)应用KCL列结点电流方程,支路数b=4，但恒流源支路的电流已知，则未知电流只有3个，所以可只列3个方程。,(2)应用KVL列回路电压方程,(3)联立解得：I1=2A，I2=3A，I3=6A,例3：试求各支路电流。,对结点 a：I1+I2 I3=7,对回路1：12I1 6
7、I2=42,对回路2：6I2+3I3=0,当不需求a、c和b、d间的电流时，(a、c)(b、d)可分别看成一个结点。,支路中含有恒流源。,1,2,因所选回路不包含恒流源支路，所以，3个网孔列2个KVL方程即可。,(1)应用KCL列结点电流方程,支路数b=4，且恒流源支路的电流已知。,(2)应用KVL列回路电压方程,(3)联立解得：I1=2A，I2=3A，I3=6A,例3：试求各支路电流。,对结点 a：I1+I2 I3=7,对回路1：12I1 6I2=42,对回路2：6I2+UX=0,1,2,因所选回路中包含恒流源支路，而恒流源两端的电压未知，所以有3个网孔则要列3个KVL方程。,3,+UX,对
8、回路3：UX+3I3=0,3-5 回路电流法(loop current method),基本思想：,为减少未知量(方程)的个数，可以假想每个回路中有一个回路电流。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表示。这样即可求得电路的解。,回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。,b=3，n=2。独立回路为l=b-(n-1)=2。选图示的两个独立回路，回路电流分别为il1、il2。支路电流i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方
9、程分析电路的方法。,可见，回路电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流法相比，方程数可减少n-1个。,回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得，,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取“-”。,R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,令,R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12=R21=R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流
10、流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。,ul2=uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有,其中,Rjk:互电阻,+:流过互阻两个回路电流方向相同,-:流过互阻两个回路电流方向相反,0:无关,特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。（平面电路，Rjk均为负(当回路电流均取顺(或逆)时针方向)）,Rkk:自电阻(为正)，k=1,2,l(绕行方向取参考方向)。,回路法的一般
11、步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2)对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l个回路电流；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,例1.,用回路法求各支路电流。,解：,(1)设独立回路电流(顺时针),(2)列 KVL 方程,对称阵，且互电阻为负,(3)求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic,(4)求各支路电流：I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic,将看VCVS作独立源建立
12、方程；,找出控制量和回路电流关系。,校核:,1I1+2I3+2I5=2.01,(UR 降=E升),例2.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,解：,将代入，得,各支路电流为：,I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.,*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,例3.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,方法1：引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路,该回路电流即 IS。,(1)对含有并联电阻的电流源，可
13、做电源等效变换：,(2)对含有受控电流源支路的电路，可先按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,说明：,3-6节点电压法(node voltage method),回路电流法自动满足 KCL。能否象回路电流法一样，假定一组变量，使之自动满足 KVL，从而就不必列写KVL方程，减少联立方程的个数？KVL恰说明了电位的单值性。如果选节点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。当以节点电压为未知量列电路方程、求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想(思考)：,任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。,(uA-u
14、B)+uB-uA=0,KVL自动满足,节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,可见，节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-(n-1)个。,举例说明：,(2)列KCL方程：,iR出=iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压,代入支路特性：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为,G11un1+G12un2=iSn1,G11un1+G12un2=iSn1,其中,G11=G1+G2+G3+G4节点1的自电导，等
15、于接在节点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12=G21=-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,*自电导总为正，互电导总为负。*电流源支路电导为零。,*流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各节点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用节点电压表示：,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,
16、一般情况：,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,节点法的一般步骤：,(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点；,(2)对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用节点电压表示)；,(1)先把受控源
17、当作独立源看列方程；,(2)用节点电压表示控制量。,例1.列写下图含VCCS电路的节点电压方程。,uR2=un1,解：,用节点法求各支路电流。,*可先进行电源变换。,例2.,(1)列节点电压方程：,UA=21.8V，UB=-21.82V,I1=(120-UA)/20k=4.91mA,I2=(UA-UB)/10k=4.36mA,I3=(UB+240)/40k=5.45mA,I4=UB/40=0.546mA,I5=UB/20=-1.09mA,(2)解方程，得：,(3)各支路电流：,解：,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系,方法2：选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2+I=0,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3-I=0,U1-U2=US,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,例3.,支路法、回路法和节点法的比较：,(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。,(3)回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。,(1)方程数的比较,
