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1、本 章 摘 要通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。,第六章 观测误差理论,6.1 测量误差概述6.2 衡量误差值精度的标准6.3 误差传播定律6.4 等精度直接观测平差*6.5 不等精度直接观测平差,6.1 测量误差概述,测量误差定义：真误差=观测值-真值,即,6.1.1 测量误差的来源,产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面。,1、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。,2、
2、观测者：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等。,测量工作由于受到上述三方面因素的影响，观测结果总会产生这样或那样的观测误差，即在测量工作中观测误差是不可避免的。测量外业工作的责任就是要在一定的观测条件下，确保观测成果具有较高的质量，将观测误差减少或控制在允许的范围内。相同观测条件的观测成为等精度观测；不同观测条件的观测成为不等精度观测。,3、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。,6.1.2
3、 测量误差的种类,先作两个前提假设 观测条件相同;对某一量进行一系列的直接观测。在此基础上分析出现的误差的数值、符号及变化规律。,按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。,1、系统误差,定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差。,系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。,通常可采用以下三种方法：1）测定系统误差的大小，对观测值加以改正;2）采用对称观测的方法;3）仪器检校。,定义：在相同的观测条
4、件下对某量进行一系列观测，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误差。,偶然误差反映了观测结果的精密度。,2、偶然误差,精密度：指在同一观测条件下，用同一观测方法对某量多次观测时，各观测值之间相互的离散程度。,粗差：也称为错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意，如测错、读错、听错、算错等造成的错误，或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。,3、粗差,粗差在测量结果中是不允许存在的。为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施或进行多余观测。,测量误差可以通过“多余观测”反映出来。,在观测过程中，系统误差和偶然误
5、差往往是同时存在的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质；反之，呈现出偶然的性质。因此，对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称平差。,结论,6.1.3 偶然误差的特性,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行
6、统计。,例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,用直方图表示:,所有面积之和=k1/n+k2/n+.=1,0.475,提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。,偶然误差的统计特性,4）在相同的条件下，对同一量进行重复观测，偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即,1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度，即偶然误差是有界的,2）绝对值小的误差比
7、绝对值大的误差出现的机会大,3）绝对值相等的正、负误差出现的机会相等,式中表示求和,精度：所谓精度是指偶然误差分布的密集离散程度。,一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。不同组观测值，分布不同，精度也就不同。,提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各不相同。,6.2 衡量观测值精度的指标,6.2.1 中误差,中误差的几何意义：偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标。,方差的定义：中误差的定义：中误差的估值：,例：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个内角观测5次，求得三角形闭合差i列于下表，试问哪一组观测值精度高？,解：用中误差公式计算，得,因，故有理由认为甲组观测值的精
8、度较乙组高。,甲：+4、-2、0、-4、+3乙：+6、-5、0、+1、-1,两组观测值的误差绝对值相等m1 m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成果的精度,-m2-m1,+m1+m2,X,Y,不同中误差的正态分布曲线,定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是极限误差。,6.2.2 极限误差,在区间（-m，m）内偶然误差的概率值为,在实际测量工作中，以三倍中误差作为偶然误差的容许值，称为容许误差，即,在对精度要求较高时，常取二倍中误差作为容许误差，即,对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两段
9、距离，一段长200m，另一段长1000m，观测值的中误差均为0.2m。从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。,6.2.3 相对误差,相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。,相对中误差的分子也可以是闭合差（如量距往返量测的两个结果的较差）或容许误差，这时分别称为相对闭合差及相对容许误差。与相对误差相对应，
10、中误差、极限（容许）误差等称为绝对误差。,6.3 误差传播定律,在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。,一般函数,表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。,例如：h=a-b 线性函数,误差传播定律：,倍数函数：Z=KX,则,6.3.1 倍数函数,推导过程,若对X变量进行n次观测，则 i=1、2、n,例1：在1：500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm,其中误差md=0.2mm，求该两点的地面水平距离D的值及其中误差mD,解：,和差函数 Z=X1X2 且X1、X2独立，则,
11、6.3.2 和差函数,推导过程,解：水准测量每一站高差：,则每站高差中误差,观测n站所得总高差,则n站总高差h的总误差,若以三倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为,例2：已知当水准仪距标尺75m时，一次读数中误差 为包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。,例3：已知DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中误差m=6用DJ6型光学经纬仪观测角度一测回的测角中误差,解：已知DJ6型光学经纬仪一个测回一个方向的中误差m=6,由,得,线性函数 Z=K1X1K2X2.KnXnK0,例：设对某一个三角形观测了其中、
12、两个角，测角中误差分别为m=3.5，m=6.2,解：,6.3.3 线性函数,现按公式=180-求得 角，试求 角的中误差m,几种函数的误差传播公式,一般函数,6.3.4 一般函数,为独立观测值,用偶然误差、代替微量元素、得：,解：,例4：函数式，测得,求 的中误差。,6.4 同精度直接观测平差,6.4.1 求最或是值,设对某量进行了n次同精度观测，其真值为X，观测值为,，相应的真误差为,则,.,相加,除以n,式中：L为算术平均值,即当观测次数n无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或是值或最或然值，
13、用最或是值作为未知量真值的估值。,6.4.2 评定精度,1、观测值中误差,同精度观测值中误差为：,由于未知量的真值X无法确知，真误差 也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的改正数（其意义等同于最或是误差）来计算观测值的中误差。,改正数：,由改正数可以计算同精度观测值中误差：,推导过程：设某量的n个等精度观测值为l1，l2,，ln，其真误差和改正数为：于是有：将上列n个等式两边分别平方，并求其和，再除以n，则有：上式中，考虑到中误差的定义公式，可得：,2、最或是值的中误差,设对某量进行了n次同精度观测，其观测值为，观测值中误差为m，最或是值为L。,有,按中误差传播关系
14、式,故,例：设对某角进行了5次同精度观测，观测结果如下表，试求其观测值的中误差，及最或是值的中误差。,观 测 值,-3,0,-1,+3,+1,9,0,1,9,1,观测值中误差,最或是值中误差为,*6-5 不等精度直接观测平差,在对某量进行不同精度观测时，各观测结果的中误差不同。显然，不能将具有不同可靠程度的各观测结果简单地取算术平均值作为最或是值并评定精度。此时，需要选定某一个比值来比较各观测值的可靠程度，此比值称为权。,6.5.1 权的定义,设一组不同精度观测值为，相应的中误差为，选定任一大于零的常数，定义权为：,一定的观测条件，对应着一定的误差分布，而一定的误差分布对应着一个确定的中误差。
15、对不同精度的观测值来说，显然中误差越小，精度越高，观测结果越可靠，因而应具有较大的权。故可以用中误差来定义权。,称 为观测值 的权。对一组已知中误差的观测值而言，选定一个值，就有一组对应的权。,衡量观测值（或估值）及其函数的相对可靠程度的一种指标。通常用P表示。,观测值的权之间的比例关系为,数值等于1的权为单位权。此时，有，当二者单位相同时，称为单位权中误差。此时的观测值为单位权观测值。权的特性表现在：权只能反映观测值之间的相对精度，在反映观测值精度时，起作用的不是权本身的大小，而是权之间的比例关系。权既可反映同一类量的若干个观测值之间的精度高低，也可反映不同类量的观测值之间的精度高低。,6.5.2 求不同精度观测值的最或是值-加权平均值,设对某量进行了n次不同精度观测，观测值为，其相应的权为，测量上取加权平均值为该量的最或是值，即,6.5.3 不同精度观测的精度评定,1、最或是值的中误差,2、单位权观测中误差,
