计算理论第4章图灵机.ppt

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1、1,第4章 图灵机,许桂靖 杨 莹,2,Overview,图灵机（Turing Machine，TM），是计算机的一种简单的数学模型。历史上，冯诺曼计算机的产生就是由图灵机诱发的。丘奇图灵论题：一切合理的计算模型都等同于图灵机.,3,类型 文 法 结 构 产 生 式 形 式 限 制 条 件,0 短语结构文法+,*Phrase Structure,上下文有关文法 1A212|12|1A2|1 Context Sensitive 1，2*（CSG）A,+,上下文无关文法 A A,*2 Context Free（CFG）,正 右线性文法 AxB，Cy A,B,C 3 规 文 左线性文法 ABx，Cy

2、 x,yT*法,4,Overview,0型语言 图灵机 1型语言(CSL)线性界限自动机 2型语言(CFL)下推自动机 3型语言(正规集)有限自动机,5,Overview,图灵机所定义的语言类-递归可枚举集合图灵机所计算的整数函数类-部分递归函数以图灵机为模型,研究问题的可计算性，即确定该问题是可计算的、部分可计算的，还是不可计算的。,6,Overview,4.1 图灵机模型 4.2 图灵机的变化和组合 4.3 通用图灵机4.4图灵机可计算性,7,4.1 图灵机模型,8,4.1 图灵机模型,定义4-1 图灵机M=(K,q0,B,F)，其中 K是有穷的状态集合；是所允许的带符号集合；B，是空白符

3、；，B，是输入字符集合；F K，是终止状态集合。q0K,是初始状态；,9,4.1 图灵机模型,：KKL,R,S是图灵机的动作(状态转移)函数，这里L表示读头左移一格；R表示读头右移一格；S表示读头不动；(q,a)=(p,b,z)表示状态q下读头所读符号为a时，状态转移为p,读头符号变为b，同时读头变化为z.,10,4.1 图灵机模型,定义4-2 设当前带上字符串为x1x2 xn，当前状态为q，读头正在读xi，图灵机的瞬时描述ID 为x1x2 xi-1 q xi xn,11,4.1 图灵机模型,定义4-3 设当前的瞬时描述ID1=x1x2 xi-1 q xi xn若有(q,x i)=(p,y,L

4、)，则图灵机瞬时描述变为ID2=x 1x 2 x i-2p x i-1 y x i+1 x n；若有(q,x i)=(p,y,R)，则图灵机瞬时描述变为ID2=x1x2 xi-1 y pxi+1 xn。,12,4.1 图灵机模型,定义4-3瞬时描述ID1经过一步变为瞬时描述ID2，称ID1与ID2具有一步变化关系，表示为 ID1ID2 若ID1经过n步变为ID2(n0)，即有ID1ID ID2称ID1与ID2具有多步变化关系，简记为 ID1*ID2,13,4.1 图灵机模型,定义4-4 对于图灵机M=(K,q0,B,F)，定义图灵机接受的语言集 L(M)为L(M)=w|w*u0 u v q q

5、f(u0*u*v*qKqf F q0w*u0qB*uqfv),14,4.1 图灵机模型,【例4-1】设计一个图灵机，使得 L(M)=0 n1 n|n1。设计思路:在带上每当将一个0变为X，就把一个1变为Y。当将所有的0变为X时，恰将所有的1变为Y，这个串就是合法的，最后将X、Y分别还原为0、1。,15,4.1 图灵机模型,16,4.1 图灵机模型,【例4-2】设计一个图灵机，使之接受 L(M)=wcw|w a,b*设计思路：在c左侧，从左至右逐一字符，用状态记下它并标志该符号为已处理符号，移至c右侧对应位置后，判断是否是相同符号。若相同，再返回c左侧循环，直至所有符号比较完毕。最后将标志符号修

6、改回原符号。在设计时，特别注意用状态存贮符号的方法，这是图灵机设计的重要方法之一。,17,4.1 图灵机模型,18,4.1 图灵机模型,【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数n的以2为底的对数。用一进制表示输入和输出值。an表示输入n,bm表示输出m.设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划掉一个，留一个，并将计数器加1。重复此过程，直至a不复存在。这里，用字符c表示划掉的字符。,19,4.1图灵机模型,20,4.1 图灵机模型,【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数m、n的减法：设计时，整数n用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为0。每当在1的左边将一个0改变为B

7、，就在1的右边将一个0改为1，若1的右边无0时，再将左边改为B的0恢复回来。,m-n 若mnmn=0 否则,21,4.1 图灵机模型,R,22,4.1 图灵机模型,【例4-5】设计图灵机实现数字从一进制表示到二进制表示的转换。这个图灵机的设计可以仿例4-3，不同在于每次循环时，要保留除以2的余数作为当前二进制位的值。注意这里首先计算出的是二进制的低位值，所以要将结果不断右移以插入新生成的位，生成的结果是低位在右端。初始时，整数n用an表示，结束时，带上是0、1构成的二进制数。,23,4.1 图灵机模型,R,24,4.2 图灵机的变化和组合,4.2.1 双向无穷带图灵机4.2.2 多带图灵机4.

8、2.3 非确定图灵机4.2.4 多头图灵机4.2.5 多维图灵机4.2.6 离线图灵机 4.2.7 图灵机的组合4.2.8 枚举器,25,双向无穷带图灵机,定理4-1 L被一个具有双向无穷带的图灵机识别，当且仅当它被一个单向无限带的图灵机识别。证明：单向无限TM模拟双向无限TM，采用多道技术。,26,4.2.2 多带图灵机,27,4.2.2 多带图灵机,【例4-6】设计一个二带图灵机，使得 T(M)=|0,1*。这个问题的关键是比较字符串前后两个部分，为此，首先要对带上字符串计数：每二元素计数加1，按计数值将字符串分为前后两个部分，并将它们分别存放于不同带上，然后进行比较。,28,4.2.2

9、多带图灵机,29,4.2.2 多带图灵机,【例4-7】设计二带图灵机，实现二进制到一进制的转换。设这个图灵机为M7，其第一带用作输入带，第二带用作输出带。设计思路是从左到右扫描输入带上的二进制字符，并使用公式r*2+b生成输出带上一进制数，其中r是当前输出带上的一进制数，b是当前输入带上扫描的字符，这里的r*2就是将原输出带上的一进制数r复制一遍。例如：1001的一进制数计算过程。,30,4.2.2 多带图灵机,31,4.2.2 多带图灵机,定理4-2 如果一个语言L被一个多带图灵机接受，它就能被一个单带图灵机接受。,32,4.2.3 非确定图灵机,【例4-8】下面的图灵机就是不确定图灵机。无

10、向图G中，从a出发合法路径判定的不确定型图灵机。,33,4.2.3 非确定图灵机,非确定图灵机由一个有穷控制器、一条带和一个读头组成。对于一个给定的状态和被读头扫描的带符号，机器的下一个动作将有有穷个选择。设一个非确定图灵机 M1=(K,q0,B,F)，除转移函数外，其它同一般图灵机的定义。转移函数仍是从K到KL,R,S上的映射，但它可能有多个映射的像,即存在qK,a,(q,a)=(p1,b1,c1)(q,a)=(p2,b2,c2)(q,a)=(pr,br,cr),34,4.2.3 非确定图灵机,定理4-3 如果语言L被一个非确定图灵机M1接受，则L将被某个确定图灵机M2接受。,35,4.2.

11、4 多头图灵机,一个k头图灵机有k个读头，一个控制器和一条带，读头由1到k编号，图灵机的一个动作由当前状态和被每个读头所扫描的符号。在一个动作中，每个读头独立地左移、右移或不动。定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接受，则它能被一个单头图灵机接受。,36,4.2.5 多维图灵机,多维图灵机具有通常的有限控制器，但带却由k维单元阵列组成。这里，在所有2k个方向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都是无限的，根据状态和扫视的符号，该装置改变状态，打印一个新的符号，在2k个方向上移动它的读头，开始时，输入沿着一个轴排列，读头在输入的左端。,37,4.2.6 离线图灵机,定理4-5 如果L被一个二维

12、图灵机M1接受，那么L将被一个一维图灵机M2接受。,38,4.2.7 图灵机的组合,39,4.2.7 图灵机的组合,【例4-9】设计一个TM，完成乘法运算mn。开始时带上符号为：0m10n1，结束时带上符号为0mn，用子程序调用的方式完成。设计思想是：每当抹去左边一个，就在第二个后面拷贝n个。当第一个的左边全变为B时，带上就为10n10mn，再抹去10n1，带上就剩0mn，即为所求。设计Copy子程序 这个子程序完成在第二个拷贝n个的操作。第1次被调用开始ID：Bm-11q10n1结束ID：Bm-11q50n10n第i次被调用开始ID：Bim-i1q10n10(i-1)n结束ID：Bim-i1

13、q50n10in在拷贝时，每当将一个变成，就在末尾写个。当0n变为2n时，就已在右边加了0n。再将2变为0n。,40,4.2.7 图灵机的组合,设计主 MM=q0,q6,q7,q8,q9,q10,q11,q12,q13,0,1,0,1,2,B,q0,B,q13)开始ID为q00m10n1，进入Copy入口ID为B0m-11q10n1，为此，(q0,0)=(q6,B,R)(q6,0)=(q6,0,R)(q6,1)=(q1,1,R)从Copy结束时的ID，进入主TM的开始ID(B0m-11q50n10nBq00m-110n10n)(q5,0)=(q7,0,L)(q7,1)=(q8,1,L)(q8,

14、0)=(q9,0,L)(q9,0)=(q9,0,L)(q9,B)=(q0,B,R)善后处理：Bm1q50n10mn,41,4.2.8 枚举器,42,4.2.8 枚举器,定理4-6 一个语言是图灵可识别的，当且仅当有枚举器枚举它。证明：首先证明如果有枚举器E枚举语言L，则存在图灵机M识别L。构造M如下：对于任意输入串w，运行E。每当E输出一个串时，与w比较，若相等，接受w，并停机。显然，M接受在E输出序列中出现过的那些串。现在证明若有图灵机M识别语言L，则有枚举器E枚举L。设L=w1，w2，w3，构造E如下：对i=1,2,3,执行如下步骤（1）对w1，w2，w3，,wi中的每一串，让M以其作为输

15、入运行i步。（2）若在这个计算中，M接受wj，则打印wj，M接受w，它最终将出现在E的枚举打印中。事实上，它可能在E的列表在出现无限多次，因为每一次重复运行，M在每一个串上都从头开始运行。,43,4.3 通用图灵机,()缓冲域带的最左面是标记符，的右边是|K|+|+2个单元构成的缓冲（|K|、|分别是状态集和字母集的元素数目）。()的描述字域缓冲区域右边紧接的是的描述字dM，以为开始标志，以个结束。对于转移函数(q,a)=(q,a,d)，我们用五元组表示为(q,a,q,a,d)，将顺序调整为(q,a,a,d,q)。dM就是由这样的五元组组成的序列。对于每个五元组中的状态和字符，我们用其序号的一

16、进表示，其间用分隔，五元组间用个分隔。例如：若有(q,)=(q,)，表示成上面定义的五元组是(q,，,，q)，再用其序号表示为(2,0,2,0,3)，在U2的带上表示为()的输入描述域的描述字域的右边存放的是输入串的编码：用字母的序号表示该字母，并用分隔。该域以为起始标志。如输入为111，则该串表示为：110110110,44,4.3 通用图灵机,UTM U2模拟具体步骤如下：步0 将读头置于描述字区域的开始符号上。此时缓冲区域是；步1U2复写标记或后面的状态到缓冲域的初始位置，然后在其后面加一个辅助符号，读写头右移到符号；步2 U2复写后面的初始带模式到缓冲区部分，即在之后；步3 U2将改为

17、0，现缓冲区中包含当前状态和扫描的字母；步4对描述字域进行搜索，查看前两项匹配的元组。若所有的五元组都不匹配，则表明停机，U2也停机。若找到一个匹配的五元组，标记、表示正在比较的状态或符号；,45,4.3 通用图灵机,步5(找到匹配的五元组)删去缓冲区的内容，并把标记右移一个符号，使处于该五元组的新符号的前面；步6用新符号代替标记后面的符号(可能需扩充或压缩原输入描述域)，U2将标记右移至五元组的方向分量前；步7 U2计数方向分量中的个数，然后按要求向左或向右移动标记。若向左离开了输入串，则U2停机；若向右离开了输入串，U2必须添加一个表示下一个方格的新的“”串。当前U2描述字域标记后面不是结

18、束状态，则转至步1；否则接受输入串并停机。,46,4.3 通用图灵机,47,4.3 通用图灵机,对于任何一个图灵机M，都有一个确定的描述字dM，如在例4-10中dM将它看作一个二进制数，实质上，它是一个整数，因此按这 种表示，任何一个图灵机都和一个整数相对应，这个整数，称为图灵机的标记。,48,4.4图灵可计算性,4.4.1 图灵可计算性函数 4.4.2 图灵机的枚举定理4.4.3 图灵机的计算限界,49,4.4.1 图灵可计算性函数,定义4-5 函数f(x1,x2,xn)是部分图灵可计算的，若有一图灵程序P，使得P(x1,x2,xn)=f(x1,x2,xn)其中P(x1,x2,xn)是P对应

19、的函数，“=”表示若有定义，则值相等；否则，均无定义。,50,4.4.1 图灵可计算性函数,定义4-6 函数f(x1,x2,xn)是全函数，若它对一切x1,x2,xn都有定义。定义4-7 函数f(x1,x2,xn)是图灵可计算函数，若它是部分图灵可计算的而且是全函数。,51,4.4.1 图灵可计算性函数,52,4.4.1 图灵可计算性函数,定理4-7 设g1,g2,gm是n元图灵可计算函数，h是m元图灵可计算函数，则复合函数f=h(g1,g2,gm)也是图灵可计算的。,53,4.4.2 图灵机的枚举定理,1图灵机的标记 2图灵可计算的重要定理定义4-8 若z是一个图灵机M的标记，并且M计算部分

20、函数g(x1,x2,xn)，则定义函数(n)为(n)(z,x1,x2,xn)=g(x1,x2,xn),54,4.4.2 图灵机的枚举定理,定理4-8 枚举定理 对于每个自然数z，部分函数(n)(z,x1,x2,xn)是(部分)图灵可计算函数。证明它能枚举所有部分可计算函数。具体说就是，n+1元函数(n)(z,x1,x2,xn)将枚举所有n元部分可计算函数。事实上，任给一个n元图灵可计算函数g(x1,x2,xn)，则必有一个图灵程序M对应它。令z是它的标记，我们有(n)(z,x1,x2,xn)=g(x1,x2,xn),55,4.4.2 图灵机的枚举定理,定理4-9 迭代定理 对一切n，有图灵可计

21、算函数，S(n)(z,x1,x2,xn)，使得对一切m，有(n+m)(z,x1,x2,xn,y1,y2,ym)=(m)(S(n)(z,x1,x2,xn),y1,y2,ym)证明,56,4.4.2 图灵机的枚举定理,定义4-9 计步谓词STP(n)定义如下：STP(n)(z,x1,x2,xn,M)描述字为z的图灵机程序T对于输入x1,x2,xn在M步内停机。其中“一步”定义为完成图灵机T的状态转移函数的一个变换。定理4-10计步定理 对任意n，谓词STP(n)(z,x1,x2,xn,M)是图灵可计算的。证明,57,4.4.3 图灵机的计算限界,58,4.4.3 图灵机的计算限界,1.域函数和停机函数,59,4.4.3 图灵机的计算限界,60,4.4.3 图灵机的计算限界,61,4.4.3 图灵机的计算限界,62,4.4.3 图灵机的计算限界,定理4-11 对角线停机函数h不是图灵可计算的。证明 定理4-12 空带停机函数h0不是图灵可计算的，其中证明,63,4.4.3 图灵机的计算限界,64,4.4.3 图灵机的计算限界,2.完全性函数,65,4.5 习题,