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1、补充轮换对称性结论:,若D关于x,y满足轮换对称性(将D的边界曲线方程中的x与y交换位置,方程不变),则,证,所以,例,习 题 课,二 重 积 分,知识要点,解题技巧,典型例题,其中,一、二重积分的概念与性质,是各小闭区域的直径中的最大值.,几何意义,二重积分I表示以D为底,柱体的体积.,z=f(x,y)为曲顶,侧面是,（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义,定义,1.,平面上有界闭区域D上二元有界函数,z=f(x,y)的二重积分,2.,当连续函数,以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶,一般情形,知识要点,物理意义,3.,xOy平面上方的曲顶柱体体积,减xOy平面下方的曲顶柱体体积.
2、,若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:,它的面,密度为连续函数,性质1(线性运算性质),为常数,则,(重积分与定积分有类似的性质),性质2,将区域D分为两个子域,对积分区域的可加性质.,（二）二重积分的性质,以1为高的,性质3(几何应用),若 为D的面积,既可看成是以D为底,柱体体积.,又可看成是D的面积.,特殊地,性质4(比较性质),则,(保序性),几何意义,以m为高和以M为高的,性质5(估值性质),为D的面积,则,则曲顶,柱体的体积介于以D为底,两个平顶柱体体积之间.,性质6(二重积分中值定理),体体积等于以D为底,几何意义,域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得
3、,则曲顶柱,为高的平顶柱体体积.,设f(x,y)在闭区,(1)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,x轴对称,f(x,y)对y为奇函数,即,f(x,y)对y为偶函数,即,则,其中,（三）对称区域上奇偶函数的积分性质,(2)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,y轴对称,f(x,y)对x为奇函数,即,f(x,y)对x为偶函数,即,则,其中,(3)设f(x,y)在有界闭区域D上连续.,其中函数,在区间a,b上连续.,二、在直角坐标系中化二重积分为,累次积分,(1)设f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.,先对y 后对x的二次积分,其中函数,在区间c,d上连续.,(2)设
4、f(x,y)在平面有界闭区域D上连续.,先对x 后对y的二次积分.,三、在极坐标系中化二重积分为累次积分,(1)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,(2)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,极坐标系下区域的面积,(3)设f(x,y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,再确定交换积分次,1.交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式,并画D的草图;,序后的积分限;,2.如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,解题技巧,3.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4.被积函数中含有绝对值符号时,
5、应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,解,例,计算积分,交换积分次序.,原式=,典型例题,1.交换积分次序,计算,解,积分域是圆,故关于x、y轴、,故将被积函数分项积分:,而,又,所以,原式=,对称,例,直线,2.利用对称性,证,所围立体的体积等于,是连续,的正值函数,所求立体在xOy面上的投影区域为,有:,例,证明:,解,原式=,用极坐标.,对称性,积分区域关于x轴对称,例,3.坐标系的选择,若函数 f(x,y)在矩形区域D:,解,上连续,且,求 f(x,y).,设,两边积分,得,例,计算二重积分,D2,例,将D分成D1与D2两部分.,D1,其中,解,由于,直角坐标,3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分,其中,因此,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式=,例,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式=,例,计算,解,积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.,原式=,记D1为D的y0的部分.,则,D1,练习,练习,证明,证,交换积分次序,累次积分,法一,证明,法二,令,则,
