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1、三重积分及其计算,其中 dv 称为体积元，其它术语与二重积分相同,若极限存在，则称函数可积,若函数在闭区域上连续，则一定可积,由定义可知,三重积分与二重积分有着完全相同的性质,三重积分的物理背景,以 f(x,y,z)为体密度的空间物体的质量,下面我们就借助于三重积分的物理背景来讨论其计算方法。,二、在直角坐标系中的计算法,如果我们用三族平面 x=常数，y=常数,z=常数对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体,其体积为,故在直角坐标系下的面积元为,三重积分可写成,和二重积分类似，三重积分可化成三次积分进行计算,具体可分为先单后重和先重后单,先单后重,也称为先一后二，切条法（先z次y后x）
2、,注意,用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。,化三次积分的步骤,投影，得平面区域,穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限,对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法,解,将 投影到xoy面得D，它是一个矩形,在D内任意固定一点（x,y)作平行于 z 轴的直线,交边界曲面于两点，其竖坐标为 l 和 m（l m),o,x,y,z,m,l,a,b,c,d,D,。(x,y),例2 计算,其中 是三个坐标面与平面 x+y+z=1 所围成的区域,D,x,y,z,o,解,画出区域D,解,除了上面介绍的先单后重法外，利用先重后单法或切片法也可将三重积分化成三次积分,先重后单，就是先求关于某两
3、个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分,若 f(x,y,z)在 上连续,介于两平行平面 z=c1,z=c2(c1 c2)之间,用任一平行且介于此两平面的平面去截 得区域,则,先重后单,易见，若被积函数与 x,y 无关，或二重积分容易计算时，用截面法较为方便，,就是截面的面积，如截面为圆、椭圆、三角形、正方形等，面积较易计算,尤其当 f(x,y,z)与 x,y 无关时,例5 计算,解,故,例6,解一,解二,先单后重,将 投影到 xoy 面得D,先重后单,（用极坐标，用对称性）,此例介绍的是一种计算三重积分的方法，这种方法也具有一定的普遍性，这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法,三、小结,三重积分的定义和计算,（计算时将三重积分化为三次积分）,在直角坐标系下的体积元素,思考题,选择题:,练 习 题,练习题答案,
