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1、第四节 重积分应用举例,一、曲面的面积,例1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截，如果截面的法向量为,底面位于,面，证明截面（平行四边形）的,与底面的面积,有如下的关系：,面积,证 不妨设截面MPQR与底面MNOL的位置关系如图所示，其中点M的坐标为,。由解析几何知，截面MPQR,有点法式方程,将点P的坐标,代入上式，得,，即点P的坐标为,又将点R的坐标,代入上式，得,，即点R的坐标为,因而得,于是得截面面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,解,例2 求旋转抛物面,位于,之间的那一部分
2、的面积。,解：设,由公式知,例3 求半径为a，高度为,由公式得球冠的面积,其中,解：设球冠的方程为,的球冠的面积。,二、质心和转动惯量,1、质心：,当薄片是均匀的，重心称为形心.,由元素法,例3 设一正棱锥体,的底面位于,面上，底面中心为,坐标原点，顶点位于正z轴上，高度为h，求该正棱锥体的形心。,解：设,的形心坐标为,且,其中v是,的体积,解,2、转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,解,三、引力,其中,例6 求半径为R的均匀圆盘,面密度为常数,，对位于,单位质点的引力,解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知,又按公式，所求引力沿z轴的分量为,解,由积分区域的对称性知,所求引力为,几何应用：曲面的面积,物理应用：重心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,四、小结,思考题,薄片关于 轴对称,思考题解答,练 习 题,练习题答案,
