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1、第七章,多元函数积分学,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,第一节,二 重 积 分,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,D,S,S:z=f(x,y),元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,2 以平代曲,曲顶柱体的体积,i,D,S:z=f(x,y),3 积零为整,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,i,曲顶柱体的体积,D,S:z=f(x,y),
2、3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,i,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,V=,曲顶柱体的体积,D,S:z=f(x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,V=,曲顶柱体的体积,S:z=f(x,y),3 积零为整,4 取极限,令分法无限变细,V,2 以平代曲,元素法,1 任意分割区域 D,化整为零,.,.,V=,曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,二、二重积分的概念,定义：设 f(x,y)是有界闭区域D上的
3、有界函数,1.分割,2.取近似,3.求和,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分，记为：,3.求和,4.取极限,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,对二重积分定义的说明：,（4）如果函数 f(x,y)在有界闭区域D上有界，并且除去 有限个点和有限条光滑曲线段外都是连续的，则它 在D上可积。,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,性质,当 k 为常数时，,性
4、质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,先讨论积分区域为：,其中函数、在区间 上连续.,四、直角坐标系二重 积分的累次积分法,X型,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,如果积分区域为：,Y型,-先对 x 积分，后对 y 积分的二次积分,X 型区域的特点：穿过区域且平行于y 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点.,Y 型区域的特点：穿过区域且平行于x 轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分
5、别使用积分公式,则必须分割.,解,先画出积分区域 D。,D 是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,于是，,于是，,解,设,则,于是，,设,将 D 向 y 轴投影。,解,a,a,a,a,.,a,a,.,a,例,4,2,.,4,2,2x+y=4,.,4,4,2,2x+y=4,.,y=0,4,4,2,2x+y=4,.,D,V=,.,.,.,2,1,D,D1,D2,D3,D4,D:,.,怎么计算？,此题用直角系算麻烦,必须把D分块!,将,变换到极坐标系,0,D,用坐标线:=常数；r=常数 分割区域 D,i,r,.,.,.,.,.,.,五、利用极坐标计算二重积分,d,d,i+i,I=,dr,r,.,.,例 将,化为在极坐标系下的二次积分。,1,2,y=x,D,.,.,.,例,由对称性，考虑上半部分,.,例,a,由对称性，考虑上半部分,.,a,。,V,。,。,。,维望尼曲线,。,。,由对称性，考虑上半部分,D,1,.,2a,2a,a,.,L,联立,例.,2a,a,.,L,联立,D,.,.,.,.,解,例 设积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y 0 的部分，证明：,六、对称性算法,积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x 0 的部分，则：,同理,例,解,D 区域关于 x 轴对称，且,而,而,因此，,例,解,解,思考：,例,例,
