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1、第九章,重积分,上页 下页 返回 结束,Music,二重积分,三重积分,重积分应用,定积分,重积分,二元函数在平面区域上的积分,三元函数在空间区域上的积分,：一元函数在直线段上的积分,曲顶柱体的体积,二重积分的性质,第九章 重积分,第一节,上页 下页 返回 结束,二重积分 的概念与性质,二重积分的定义,D,S,S:z=f(x,y),元素法,一、引例,i,1.曲顶柱体的体积,顶：曲面,底,侧面,上页 下页 返回 结束,（1）分割区域 D,化整为零,（2）局部以平代曲,求近似,D,i,上页 下页 返回 结束,积零为整,S:z=f(x,y),元素法,（1）分割区域 D,化整为零,（2）局部以平代曲,
2、求近似,一、引例,1.曲顶柱体的体积,D,i,上页 下页 返回 结束,（3）取极限,令分法无限变细,积零为整,S:z=f(x,y),元素法,（1）分割区域 D,化整为零,（2）局部以平代曲,求近似,一、引例,1.曲顶柱体的体积,V=,D,上页 下页 返回 结束,（3）取极限,令分法无限变细,积零为整,S:z=f(x,y),元素法,（1）分割区域 D,化整为零,（2）局部以平代曲,求近似,一、引例,1.曲顶柱体的体积,V=,V,（3）取极限,令分法无限变细,积零为整,S:z=f(x,y),元素法,（1）分割区域 D,化整为零,（2）局部以平代曲,求近似,一、引例,1.曲顶柱体的体积,上页 下页
3、返回 结束,V=,2.平面薄片的质量,一平面薄片占有 xOy 平面上的区域 D,计算该薄片的质量 M.,D 的面积为,则,若,非常数,采用元素法:,其面密度为,(1)“分割”,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,上页 下页 返回 结束,(2)“常代变求近似和”,中任取一点,总质量,(3)“取极限求精确”,则第 k 小块的质量,上页 下页 返回 结束,两个问题的共性：,(1)解决问题的步骤相同,(2)所求量的结构式相同,“分割；常代变求近似和；取极限求精确”,曲顶柱体体积:,平面薄片的质量:,上页 下页 返回 结束,二、二重积分的定义,定义.,将区域 D 任意分成 n 个小区域,任取点,若存在常
4、数 I,使得,可积,在D上的二重积分.,积分和,积分区域,积分表达式,面积元素,是定义在有界区域 D上的有界函数.,上页 下页 返回 结束,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,如果 在D上可积,二重积分常记作,这时,来划分区域D,因此，,可用平行于坐标轴的直线,上页 下页 返回 结束,在直角坐标系下，面积元素,若,定理.,在D上可积.,在 D上连续,则,上页 下页 返回 结束,三、二重积分的性质,(k 为常数),以上两性质统称为线性性质.,下一性质是说，二重积分关于积分区域具有可加性.,特别地,由于,则,5（比较定理）.若在D上,6（估值定理）.设,D 的面积为,则有,上页 下页 返回 结束,为
5、D 的面积,则,7.(二重积分的中值定理),证 由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点,在闭区域D上,为D 的面积,则至少存在一点,使,使得,连续,因此,上页 下页 返回 结束,例1.比较下列积分值的大小:,其中,解 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位,从而,于直线的上方,故在 D 上,上页 下页 返回 结束,更确切地,例2.判断积分,的正负号.,解 如图,分积分域为,则,原式=,猜想结果为负 但不好估计.,舍去此项,上页 下页 返回 结束,例3.估计下列积分的值,解 D 的面积为,由于,积分性质5,即 1.96 I 2.,上页 下页 返回 结束,确切
6、地，1.96 I 2.,设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1,在区域 D 上,在闭区域D上连续,D 关于x 轴对称,则,则,上页 下页 返回 结束,f(x,y)关于y 为偶函数，,重要技巧：,f(x,y)关于y 为奇函数，,则,则,在第一象限部分,上页 下页 返回 结束,则,四、曲顶柱体体积的计算,设曲顶柱体的底为,任取,则平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,上页 下页 返回 结束,同理,若曲顶柱体的底为,则其体积可按如下两次积分计算,上页 下页 返回 结束,例4.求两底圆半径为R 的圆柱面所围立体的体积.,解 建立坐标系，设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分.,看作曲
7、顶柱体,顶为,所求体积为,上页 下页 返回 结束,底为,a,b,1,D1,（定积分三角代换）,.,.,例5.,=,解,利用被积函数和积分区域的特点，,上页 下页 返回 结束,.,.,y,被积函数相同,且非负,基本训练,解,由它们的积分域范围可知,1.比较下列积分值的大小关系:,上页 下页 返回 结束,2.设D 是位于第二象限的有界闭域,且 0 y 1,则,的大小顺序为(),提示:因 0 y 1,故,故在D上有,上页 下页 返回 结束,3.计算,解,上页 下页 返回 结束,4.证明:,其中D 为,解 被积函数关于 x,y 对称,因此,又 D 的面积为 1,故结论成立.,上页 下页 返回 结束,P106 1(1);2(2);3(1);4;5;6;21;22,上页 下页 返回 结束,作 业,附加题,1.估计,的值,其中 D 为,解 被积函数,积分区域D 的面积,的最大值,的最小值,上页 下页 返回 结束,2.判断,的正负.,解,当,时，,故,又当,时，,所以,上页 下页 返回 结束,
