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1、2023/8/28,1,等差数列及其应用,2023/8/28,2,目 录,一、等差数列,二、通项公式,三、等差数列求和,四、等差数列的应用,2023/8/28,3,是一队数列且相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示。,2023/8/28,4,1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，7，9，11，13.2，4，6，8，10，12，14 3，6，9，12，15，18，21.100，95，90，85，80，75，70.20，18，16，14，12，10，8.,2023/8/28,5,像这些数列就是几位等差数列。数列中，d=2-1=
2、3-2=4-3=1；数列中，d=3-1=5-3=13-11=2；数列中，d=4-2=6-4=8-6=.=2；数列中，d=6-3=9-6=21-18=3；数列中，d=100-95=95-90=75-70=5；数列中，d=20-18=18-16=10-8=2.,2023/8/28,6,例1下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由.,6，10，14，18，22，98；1，2，1，2，3，4，5，6；1，2，4，8，16，32，64；9，8，7，6，5，4，3，2；3，3，3，3，3，3，3，3；1，0，1，0，l，0，1，0；,2023/8/28,7,解：是，公差d=4.不
3、是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.不是，因为4-22-1.是，公差d=l.是，公差d=0.不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项.,2023/8/28,8,为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为a1，第2项记为a2，第n项记为an。an又称为数列的通项；a1又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.,2023/8/28,9,对于公差为d的等差数列a1，a2，an来说，如果a1小于a2，则显然a2-a1=a3-a2=.=an-a(n-1)=d,因此 a2=a1+d a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a
4、1+3d.由此可知：an=a1+(n-1)d(1)若a1大于a2，则同理可推得:an=a1-(n-1)d(2)公式(1)(2)叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.,2023/8/28,10,例2 求等差数列1，6，11，16的第20项.,解：首项a1=1，又因为a2；大于a1；，公差d=6-1=5，所以运用公式（1）可知：第20项a20=a1+（20-1）5=1+195=96.,2023/8/28,11,一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，我们可以得到项数公式：n=(an-a1)d+1(若an大于a1
5、)项数(3)n=(a1-an)d+1(若a1大于an),2023/8/28,12,例3 已知等差数列2，5，8，11，14，问47是其中第几项？,解：首项a1=2，公差d=5-2=3令an=47则利用项数公式可得：n=（47-2）3+1=16.即47是第16项.,2023/8/28,13,练一练,如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.,2023/8/28,14,方法1：要求第8项，必须知道首项和公差.因为a4=a1+3d，又a4=21，所以a1=21-3d又a6=a1+5d，又a6=33，所以a1=33-5d所以：21-3d=33-5d，所以d=6 a1=21-3d=3，所
6、以 a8=3+76=45.方法2：考虑到a8=a7+d=a6+d+d=a6+2d，其中a6已知，只要求2d即可.又 a6=a5+d=a4+d+d=a4+2d，所以 2d=a6-a4 d=6所以a8=33+26=45,2023/8/28,15,若a1 小于a2，则公差为d的等差数列 a1,a2,a3an可以a1,a1+d,a1+d2，a1+d（n-1）.所以，容易知道：a1+an=a2+a（n-1）=a3+a（n-2）=a4+an-3=a（n-1）+a2=an+a1.设 Sn=a1+a2+a3+an则 Sn=an+a（n-1）+a（n-2）+a1两式相加可得：2Sn=（a1+an）+【a2+a（
7、n-1)】+(an+a1)即：2Sn=n（a1+an）,所以，Sn=n（a1+an）2（4）,2023/8/28,16,例4 计算 1+5+9+13+17+1993.,因为1，5，9，13，17，1993是一个等差数列，且a1=1，d=4，an=1993.所以，n=（ana1）d+1=499.所以，1+5+9+13+17+1993=（1+1993）4992=997499=497503.,2023/8/28,17,根据这一题，我们可以得出：对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。这个定理称为中项定理.
8、,2023/8/28,18,练一练,建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？,2023/8/28,19,练一练,如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，容易知道，这是一个等差数列.方法1：a1=2，d=4，an=2106，则n=（an-a1）d+1=527这堆砖共有则中间一项为 a264=a1+（264-1）4=1054.方法2：（a1+an）n2=（2+2106）5272=555458（块）.则中间一项为（a1+an）2=1054a1=2，d=4，
9、an=2106，这堆砖共有 1054527=555458（块）.n=（an-a1）d+1=527,2023/8/28,20,练一练,求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差.,2023/8/28,21,练一练,根据题意可列出算式：（2+4+6+8+2000）-（1+3+5+1999）解法1：可以看出，2，4，6，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)10002-（1+1999）10002=1000.解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了10
10、00个1，即原式=10001=1000.,2023/8/28,22,练一练,连续九个自然数的和为54，则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少？,2023/8/28,23,练一练,方法1：要想求这九个连续自然数之和，可以先求出这九个连续自然数中最小的一个.即条件中的九个连续自然数的末项.因为，条件中九个连续自然数的和为54，所以，这九个自然数的中间数为549=6，则末项为6+4=10.因此，所求的九个连续自然数之和为（10+18）92=126.方法2：考察两组自然数之间的关系可以发现：后一组自然数的每一项比前一组自然数的对应项大8，因此，后一组自然数的和应为54+89=126.
11、在方法1中，可以用另一种方法来求末项，根据求和公式Sn=（a1+an）n2，则 a1+a9=5429.又因为a1=a9-8，所以代入后也可求出a9=10.,2023/8/28,24,练一练,100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？,2023/8/28,25,练一练,方法1：要求和，我们可以先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=84502100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，
12、46134.这些数构成等差数列，和为（36+134）502=4250.方法2：我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）2=4250.,2023/8/28,26,例5 把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？,解：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为2107=30，所以，这7个数分别是15、20
13、、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.,2023/8/28,27,练一练,把27枚棋子放到7个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多，问能否办到，若能，写出具体方案，若不能，说明理由.,2023/8/28,28,练一练,因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同时，任两盒中棋子数不一样，所以7个盒中共有的棋子数至少为1+2+3+4+5+6+7=28.但题目中只给了27枚棋子，所以，题中要求不能办到.,2023/8/28,29,练一练,从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？,2023/
14、8/28,30,练一练,设满足条件的两数为a、b，且ab，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.若a=25，则b=26，27，50，共25种.若a=26，则b=27，28，50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，50，共23种.若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+25+24+23+22+l=2（1+2+3+24）+25=625.,2023/8/28,31,练一练,x+y+z=1993有多少组正整数解,2023/8/28,32
15、,练一练,显然，x不能等于1992，1993.所以，原方程的不同的整数解的组数是：l+2+3+1991=1983036.,2023/8/28,33,练一练,本题中运用了分类的思想，先按照x的值分类，在每一类中，又从y的角度来分类，如：x=1987时，因为y+z=6，且y、z均为正整数，所以y最小取1，最大取5，即按y=1，2，3，4，5分类，每一类对应一组解，因此，x=1987时，共5组解.,2023/8/28,34,练一练,把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出：197排在第几行的第几个数？第10行的第9个数是多少？1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 43 45 47 49,2023/8/28,35,练一练,197是奇数中的第99个数.数表中，第1行有1个数.第2行有3个数.第3行有5个数 第n行有2n-l个数因此，前n行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+（2n-1）=1+（2n-1）n2=nn因为99991010.所以，第99个数位于数表的第10行的倒数第2个数，即第18个数，即197位于第10行第18个数.第10行的第9个数是奇数中的第90个数.因为99+9=90），它是179.,2023/8/28,36,谢谢,
