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1、3.2 等比数列的前n项和,学习目标1理解“错位相减法”求等比数列的前n项和公式,掌握等比数列求和公式,并能应用公式解决有关问题2灵活运用等比数列前n项和的性质,进一步理解等比数列的性质,课堂互动讲练,知能优化训练,3.2等比数列的前n项和,课前自主学案,课前自主学案,1等比数列的前n项和公式,2.等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm,S2mSm,S3mS2m,)仍组成等比数列(注意:这连续m项的和必须非零才能成立)(2)an为公比不为1的等比数列SnAqnB(AB0)(3)SnmSmqmSn(q为公比),1如何从函数的观点看等比数列前n项和与n之间的函数关系?,提示:在计算等比数
2、列的前n项和时,总是忘记公比q1的情形其突破方法是明确等比数列的前n项和公式的推导过程,再就是注意经验的积累在推导等比数列an的前n项和公式过程中,Sna1a1qa1qn1,,当等式两边同乘以q后,得qSna1qa1q2a1qn.当q1时,qSna1qa1q2a1qn与Sna1a1qa1qn1是同一个等式,它们相减后得到00,没有什么意义,因此当q1时,它们相减后得到的等式(1q)Sna1a1qn才具有意义,当q1时,等比数列an是常数列,则Snna1.因此等比数列的前n项和公式要分类讨论根据解题经验,在计算等比数列的前n项和时,首先考虑公比等于1的情形,否则易出错,课堂互动讲练,【答案】C【
3、误区警示】运用等比数列的前n项和公式时,必须注意公比q是否为1,并且常用到等式两边约分或两式相除的办法进行化简或消元,在解等比数列问题时,要注意合理应用等比数列的性质,与等比数列前n项和有关的性质有:项数相同,对应项的下标差相等,则这些项的和成等比数列;连续m项和(如Sm,S2mSm,S3mS2m,)仍组成等比数列(注意此连续m项的和必须非零才成立);an为等比数列,且q1SnAqnA(A0),已知Sn是等比数列an的前n项和,且S105,S2015.(1)求S30;(2)S10,S20S10,S30S20是否是等比数列?(3)求证:Sn,S2nSn,S3nS2n是等比数列【思路点拨】灵活应用
4、等比数列的前n项和公式,紧扣定义解答,(2)S105,S20S1010,S30S2020.且(S20S10)2S10(S30S20)S10,S20S10,S30S20是等比数列(3)证明:Sna1a1qa1q2a1qn1a1(1qqn1),S3nS2na2n1a2n1qa2n1q2a2n1qn1a2n1(1qqn1),S2nSnan1an1qan1q2an1qn1an1(1qqn1),,而a1,an1,a2n1是等比数列,Sn,S2nSn,S3nS2n是等比数列【名师点评】在解题时,选择适当方法可以提高解题速度,减少解题时间,本题结论很重要,是等比数列较常用的性质之一,互动探究若将本例条件变为
5、:各项均为正数的等比数列an中,S1010,S3070,求S40.,所谓错位相减法是指在求和式子的左右两边同乘等比数列的公比,然后错位相减,使其转化为等比数列求和问题此种方法一般应用于形如数列anbn的求和,其中数列an是等差数列,数列bn是等比数列,(2010年高考四川卷)已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为4.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn(4an)qn1(q0,nN),求数列bn的前n项和Sn.【思路点拨】由题意列方程组可求出an;将an代入bn可知数列bn的各项由两部分组成,一部分是等差数列,另一部分成等比数列,故考虑用错位相减法求和,(2)由(1)的解答可得,bnnq
6、n1,于是Sn1q02q13q2nqn1.若q1,将上式两边同乘以q,有qSn1q12q2(n1)qn1nqn.,【名师点评】一般地,若数列an为等差数列,bn为等比数列且公比为q(q1),求anbn的前n项和时,常用“乘公比,错位减”的方法求和在写出“Sn”与“qSn”时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便进一步地写出“SnqSn”的表达式,最后求和特别注意公比是否为1,若不确定,必须对q1和q1加以讨论这种求和的方法在高考中经常考查,且要求较高,1在等比数列前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分q1和q1讨论,采用不同的公式形式,不可忽略q1的情况,2等比数列的通项公式和前n项和公式共涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,其中a1和q为基本量,且五个量“知三可求二”;在解决等比数列问题中,要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题,养成良好的思维习惯3一般地,如果数列an是等差数列,bn是等比数列,且公比q1,求数列anbn的前n项和时,可采用“乘公比,错位相减法”求和,