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1、教案等比数列的前n项和公式高二数学组集体备课教案 课题：2.5等比数列的前n项和(两个课时) 教学目标：知识目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题； 能力目标：提高学生的建模意识，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想； 情感目标：培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质； 教学重点：等比数列的前n项和公式； 等比数列的前n项和公式的应用； 教学难点：等比数列的前n项和公式的推导； 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体 教学过程： 一、复习提问 回顾等比数列定义，通项公式 an
2、=qa等比数列定义：n-1等比数列通项公式：an=a1qn-1(a1,q0)等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。 二、问题引入： 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。 2363+ 2+问题:如何计算S 64 = 1 2 + 2 + L + 2 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨： 问题：如何求等比数列an的前n项和公式 Sn=a1+a2+a3+L+an =a1+a1q+a1q2+L+a1qn-2+a1qn-1 回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列a1,a2+a3,LanL它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+Lan 根据等差数列的定义an+1-a
3、n=d Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+LL+a1+Sn=an+(an-d)+(an-2d)+LL+an- +得：2Sn=n(a1+an) n(a1+an) 2探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？ Sn=a1+a2+a3+L+an Sn=a1+a1q+a1q2+L+a1qn-2+a1qn-1 aaanan Sn=an+n+n+L+2n-2n-1qqqq 学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项，化繁为简。 探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？ 根据等比数列的定义：an+1= qS
4、n=a1q+a1q2+a1q3+L+a1qn-1+a1qn 2 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 (1)-(2)得：(1-q)Sn=a1-a1qn 当q=1时，Sn=na1 a1(1-qn)当q1时，Sn= 1-q学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式： 当q1时， Sn=a1-anq 1-q四.知识整合: 1等比数列的前n项和公式： 当q=1时，Sn=na1 a1(1-qn)a-aq当q1时，Sn= =1n 1-q1-q2公式特征： 等比数列求和时
5、，应考虑q=1 与q1 两种情况。 当q1时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。 等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，a1,五个量中“知三求二”。 3等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。 五、例题精讲： 例1运用公式解决国王赏麦故事中的难题。 变式练习：求等比数列1,2,4,8的前多少项和是63. 求等比数列1,2,4,8第4项到第7项的和. 例2画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形， 依次类推若一共画了7个正方形，求第7个正方形的面积？ 3 q,n,an,Sn， 若已知所画正方形的面积和为一个正方形的面积
6、。 31，求一共画了几个正方形，及所画的最后4 解：由题意得：每个正方形的面积构成等比数列，且a1=4Qn=7 a7=a1q6=1 16q=1 2n-11an=42an=a1qn=1n=5n1 a1(1-qn)1 41-a=n31Sn=241-q=141-21答：第七个正方形的面积是cm2。 161 一共测了5个正方形，所画的最后一个正方形的面积是cm2。 4巩固练习：已知等比数列an中，a1=-1，q=-2,求S6。 已知等比数列an中，a1=1，q=3,Sn=40，求n，an。 六、课堂小结： 1、等比数列的前n项和公式： 当q=1时，Sn=na1 a1(1-qn)a-aq当q1时，Sn= =1n 1-q1-q2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。 3、数学思想：类比，分类讨论，方程的数学思想。 七、课后作业： 基础题：课本P61 习题2.5 A组1，2 提高题：求和（(1+a)+(2+a2)+L+(2n-1+an) 探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？ 4 八、板书设计： 2.5.1等比数列的前n项和 公式： 例1 例2 特征 变式练习： 巩固练习： 5
