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1、第六节 隐函数存在定理的几何应用,一、空间曲线的切线与法平面,1.设空间曲线C的参数方程为:,它们在 可导,且,取定曲线上一点,过曲线C上两点的割线方程为,或,当 沿曲线C 时,即 割线的,极限位置就是曲线在点 的切线.,则切线方程为,切线的方向向量,称为曲线C在点的切向量。,一个平面通过空间曲线C上的一点,且与点的切线垂直，称此平面是空间,曲线C在点的法平面。,在法平面上任取一点,则,与切向量垂直即,法平面方程,法平面方程是,或,例1求螺旋线,在 处的切线方程与法平面方程,若空间曲线C是由函数方程组,所确定,若方程组在曲线C上一定点 的某,邻域满足隐函数组定理的条件，即,对x,y,z的偏导数
2、在点P的邻域内连续，,不妨设,且,不同时为零，,曲线C的参数方程为,切向量,利用 分别对求偏导，求出,则在点某邻域，曲线C可表示为,解得,从而可得曲线在点 的切线方程：,法平面方程,例2求曲线 在点,法平面方程：,切线方程：,解,处的切线及法平面方程。,法向量,1.设曲面S的方程是,则它的在点,二、曲面的切平面与法线,它在点 可微,设曲面S的方程是在曲面S,上任取一点.,满足函数确定的隐函数的条件，曲面S可表为,则曲面在点M的切平面方程是,则曲面S在点M的法线方程是,若 在点M,例3 求曲面 上点,的切平面的方程与法线方程.,解,切平面方程与法线方程分别为,与,设曲面S的方程是,取定,对应曲面上的点,若函数组 满足11.1定理,则在点 的邻域存在连续偏,导数的反函数组,代入 有,曲面S在点M的法向量为,的推论，,对u,v求偏导,解方程组，得,它的在点的切平面方程是,法线方程是,它在点,例4求曲面,在点 对应的曲面上点的切平面,方程与法线方程,练习:1 求球面 与锥面,所截出的曲线的点,处的切线与法平面方程.,2.求椭球面 在,处的切平面方程与法线方程.,练习的答案:,1.切线方程,法平面的方程,2.切平面方程,法线方程,
