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1、第十二讲 信号分解为正交函数,一、教学目的与教学要求：1、熟练掌握基本概念。2、理解基本公式与性质在系统中的实际应用。3、基本掌握解题方法与解题技巧。二、教学重点与教学难点：1信号分解为正交函数2傅里叶级数3傅里叶变换的性质三、引入新课；四、新课内容：,4.2 傅里叶级数,一、傅里叶级数的三角形式,设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数,系数an,bn称为傅里叶系数,二、傅里叶级数的指数形式,式中，A0=a0,将上式同频率项合并，可写为,n=0,1,2，,三、周期信号频谱的特点,举例：有一幅度
2、为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频谱。,令Sa(x)=sin(x)/x(取样函数）,n=0,1，2，,Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T=4画图。,零点为,特点：(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。,谱线的结构与波形参数的关系：,(a)T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/增多。(b)一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量
3、的幅度也趋近于无穷小。,4.4 非周期信号的傅里叶变换,一、傅里叶变换,非周期信号f(t)可看成是周期T时的周期信号。前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令,(单位频率上的频谱）,称F(j)为频谱密度函数。,考虑到：T，无穷小，记为d；n（由离散量变为连续量），而,同时，,于是，,傅里叶变换式“-”,傅里叶反变换式,F(j)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(j)的傅里叶反变换或原函数。,根据傅里叶级数,也
4、可简记为,F(j)=F f(t)f(t)=F 1F(j)或 f(t)F(j),F(j)一般是复函数，写为 F(j)=|F(j)|e j()=R()+jX(),说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅里叶变换存在的充分条件:,(2)用下列关系还可方便计算一些积分,二、常用函数的傅里叶变换,单边指数函数f(t)=et(t)，0实数,2.双边指数函数f(t)=et,0,3.门函数(矩形脉冲),4.冲激函数(t),5.常数1,有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列fn(t)逼近f(t)，即,而fn(t)
5、满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的序列Fn(j)是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F(j)为,这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。,构造 f(t)=e-t，0,所以,又,因此，12(),6.符号函数,7.阶跃函数(t),6.符号函数,7.阶跃函数(t),归纳记忆：,1.F 变换对,2.常用函数 F 变换对：,(t),e-t(t),g(t),e|t|,1,1,2(),归纳记忆：,1.F 变换对,2.常用函数 F 变换对：,(t),(t),e-t(t),g(t),sgn(t),e|t|,1,1,2(),第十四讲 傅里叶变换的性质一、教学目的与教学要求：1、熟练掌握基
6、本概念。2、理解基本公式与性质在系统中的实际应用。3、基本掌握解题方法与解题技巧。二、教学重点与教学难点：1、线性(Linear Property)2、时移性质(Timeshifting Property)3、对称性质(Symmetrical Property)4、频移性质(Frequency Shifting Property)5。尺度变换性质(Scaling Transform Property)6。卷积性质(Convolution Property)三、引入新课；四、新课内容：,4.5 傅里叶变换的性质,一、线性(Linear Property),If f1(t)F1(j)，f2(t)F
7、2(j)then,Proof:F a f1(t)+b f2(t),=a F1(j)+b F2(j),a f1(t)+b f2(t)a F1(j)+b F2(j),For example F(j)=?,Ans:f(t)=f1(t)g2(t),f1(t)=1 2(),g2(t)2Sa(),F(j)=2()-2Sa(),-,二、时移性质(Timeshifting Property),If f(t)F(j)then,where“t0”is real constant.,Proof:F f(t t0),For example F(j)=?,Ans:f1(t)=g6(t-5),f2(t)=g2(t-5),
8、g6(t-5),g2(t-5),F(j)=,+,三、对称性质(Symmetrical Property),If f(t)F(j)then,Proof:,（1）,in(1)t，t then,（2）,in(2)-then,F(j t)2f()end,F(jt)2f(),For example,F(j)=?,Ans:,if=1,*if,F(j)=?,四、频移性质(Frequency Shifting Property),If f(t)F(j)then,Proof:,where“0”is real constant.,F e j0t f(t),=F j(-0)end,For example 1,f(t
9、)=ej3t F(j)=?,Ans:1 2()ej3t 1 2(-3),For example 2,f(t)=cos0t F(j)=?,Ans:,F(j)=(+0)+(-0),For example 3,Given that f(t)F(j),The modulated signal f(t)cos0t?,五、尺度变换性质(Scaling Transform Property),If f(t)F(j)then,where“a”is a nonzero real constant.,Proof:,F f(a t)=,For a 0,F f(a t),for a 0,F f(a t),That i
10、s,f(a t),Also,letting a=-1,f(-t)F(-j),演示,For example 1,Given that f(t)F(j),find f(at b)?,Ans:f(t b),e-jb F(j),f(at b),or,f(at),f(at b)=,For example 2,f(t)=F(j)=?,Ans:,Using symmetry,using scaling property with a=-1,so that,六、卷积性质(Convolution Property),Convolution in time domain：,If f1(t)F1(j)，f2(t)F
11、2(j)Then f1(t)*f2(t)F1(j)F2(j),Convolution in frequency domain：,If f1(t)F1(j)，f2(t)F2(j),Then f1(t)f2(t)F1(j)*F2(j),Proof:,F f1(t)*f2(t)=,Using timeshifting,So that,F f1(t)*f2(t)=,=F1(j)F2(j),For example,Ans:,Using symmetry,4.5 傅里叶变换的性质,If f(t)F(j)then,Proof:,f(n)(t)=(n)(t)*f(t)(j)n F(j)f(-1)(t)=(t)
12、*f(t),f(t)=1/t2?,For example 1,Ans:,For example 2,Given that f(t)F1(j)Proof,f(t)F1(j)+f(-)+f()(),Proof,So,Summary:if f(n)(t)Fn(j)，and f(-)+f()=0 Then f(t)F(j)=Fn(j)/(j)n,For example 3,Determine f(t)F(j),Ans:,f”(t)=(t+2)2(t)+(t 2),F2(j)=F f”(t)=e j2 2+e j2=2cos(2)2,F(j)=,Notice:,d(t)/dt=(t)1,(t)1/(j)
13、,八、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain),If f(t)F(j)then,(jt)n f(t)F(n)(j),where,For example 1,Determine f(t)=t(t)F(j)=?,Ans:,Notice:t(t)=(t)*(t),Its wrong.Because()()and(1/j)()is not defined.,For example 2,Determine,Ans:,九、帕斯瓦尔关系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals),Proof,|F(j)|2 is referred to as the energy-density spectrum of f(t).单位频率上的频谱(能量密度谱）Js,For example,Determine the energy of,Ans:,十、奇偶性(Parity),If f(t)is real,then,=R()+jX(),So that,R()=R(),X()=X()|F(j)|=|F(j)|,()=()(2)If f(t)=f(-t),then X()=0,F(j)=R()If f(t)=-f(-t),then R()=0,F(j)=jX(),
