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1、1,第八节 多元函数的极值与最值,2,实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁，瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？,每天的收益为,求最大收益即为求二元函数的最大值.,一、问题的提出,3,二、多元函数的极值,4,1、二元函数极值的定义,5,例1,例,例,6,2、多元函数取得极值的条件,证:,7,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点(具有偏导数的函数),注意：,8,偏导数不存在的点也可能是函数的极值
2、点。,例如：,不存在。,也不存在，,所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点导数不存在的点。,温馨提示：,但是极大值点。,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,9,10,对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:,11,解,12,13,14,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求 在条件 下的极值点,三、条件极值、拉格朗日乘数法,15,条件极值：对自变量有附加条件的极值,解决办法：（1）化为无条件极值（用代入法）（2）直接
3、求极值。（拉格朗日乘数法）,无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外，并无其他条件.,16,一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的,解决条件极值问题的一般方法是,Lagrange乘数法升元法,求 z=f(x,y),其几何意义是,其中点(x,y)在曲线 L 上,17,假定点P(x0,y0)为条件极值点,在(x0,y0)的某个邻域内,且不同时为0,f(x,y)可微,确定了一个隐函数y=y(x),故 z=f x,y(x)在P(x0,y0)处取得极值,故,即,又由隐函数的微分法知,18,代入
4、上式,P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为,19,20,21,22,例5,解一,设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z),则长方体的体积为V=8xyz,令,23,解得,或,两式相除,同理,即,代入解得,三式分别乘以x,y,z后相加得,24,解二,任意固定 z0(0 z0 c),先在所有高为2 z0 的长方体中求体积最大者,因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大,今上底面为内接于椭圆,边平行于 x,y 轴的长方形,当长方形的边长分别为,（一元函数极值问题）,25,长方形面积最大,得到高为 2z0 的长方体中最大体积为,V(z0)最大,这时长方体在第一卦限
5、的顶点的坐标为,解三,作变换,问题变成在,下求 XYZ 的最大值,易知为立方体,26,解四,即求,的最大值,而此三个正数的和一定（=1）,当,积最大,27,例6,解,令D为平面 x+y+z=m 在第一卦限的部分,由于在D的边界上，总有 u=0 而在D内有u 0且u 在D上连续，故必存在 最大值，且一定在D内取得,另一方面,由于 u 和 lnu 在D内有相同的极值点,故问题转化为求lnu 在条件 x+y+z=m 下的极值。,28,令,则,与 x+y+z=m 联立解得,29,注:拉格朗日函数分别对各自变量及拉格朗日乘数 求偏导数，并令其为零。,30,有界闭区域上连续函数求最值的一般方法：将函数在D
6、内的所有驻点和不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,四、多元函数的最值,、,31,求最值步骤：1、求D内驻点和不可导点。2、求边界上的条件极值点（用代入法或拉格朗日乘数法）3、求边界的边界上的最值疑点。4、计算这些点的函数值，比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值。,32,解,如图,33,34,解,由,35,36,37,注：要求函数在D上的最大值和最小值往往 相当复杂，在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出该函 数的最值一定在D的内部取得，而函数
7、在D内又只有一个驻点，可判定该点即 为所求最值点。,38,解,则,39,解,40,41,42,可得,即,43,多元函数的极值,拉格朗日乘数法,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,小结,44,思考题,45,思考题解答,46,选择题,已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续,则,(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.,(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.,(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.,(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.,练习：,47,在（0，0）的任何邻域内都有大于0和小于0的点，所以不是极值点,48,解,(1)
8、求函数在D内的驻点,由于,所以函数在D内无极值.,(2)求函数在 D边界上的最值,(现最值只能在边界上),围成的三角形闭域D上的,最大(小)值.,例,D,49,在边界线,在边界线,由于,最小,由于,又在端点(1,0)处,所以,最大.,有驻点,函数值,有,单调上升.,50,在边界线,所以,最值在端点处.,由于,函数单调下降,(3),比较,51,解,此时,的最大值与最小值.,驻点,得,（一元函数求最值要考虑端点。）,例：,52,解,例,已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高,各取什么值时长方体的体积最大？,设长方体的长、宽、高分别为,由题意,长方体的体积为,且长方体体积,一定有最大值,体体积最大
9、.,故当的长、宽、高都为6时长方,由于V在D内只有一个驻点,53,解,为简化计算,令,是曲面上的点,它与已知点的距离为,问题化为在,下求,的最小值.,目标函数,约束条件,例：,54,设,(1),(2),(3),(4),55,由于问题确实存在最小值，,故,得唯一驻点,还有别的简单方法吗,?,用几何法!,56,解,为此作拉格朗日乘函数:,上的最大值与最小值.,在圆内的可能的极值点;,在圆上的最大、最小值.,57,最大值为,最小值为,58,设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为,(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向
10、的方向导数最大?,若记此方向导数,的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.,(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.,是说,要在D的边界线,上找出使(1)中,的g(x,y)达到最大值的点.,试确定攀岩起点的位置.,也就,59,解,(1)由梯度的几何意义知,方向的方向导数最大,h(x,y)在点M(x0,y0),处沿梯度,方向导数的最大值为该,梯度的模,所以,(2)令,由题意,只需求,在约束条件,下的最大值点.,令,60,则,(1),(2),(3),(1)+(2):,从而得,由(1)得,再由(3)得,由(3)得,于是得到4个可能的极大值点,可作为攀登的起点.,61,或由（1）得,由（2）得,两式相比：再化简得：,
