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1、高次方程、分式方程、无理方程的解法,高次方程、分式方程、无理方程的解法,内容概况,内容概况,无理方程,高次方程,分式方程,一次或二次方程,整式方程,有理方程,因式分解、换元,两边同乘以最简公分母、换元,两边平方、换元,一、高次方程的解法,知识要点 一.高次方程的解法,1、什么是高次方程,整式方程中，未知数的次数大于或等于3的方程称为高次方程,所以,例1（1）解方程,解：因式分解,高次方程的解法例题1（1）,高次方程的解法例题1（2）,因为,所以,所以,例1（2）解方程,解：因式分解,高次方程解法例1（3）,例1（3）,解方程,解：,因式分解,所以,高次方程解法例2(1),例2（1）解 方 程,
2、解：,换元,令,则原方程可以化为,即,故,或,即,或,解得：,高次方程解法例2（2）,例2（2）解方程,解：,原方程即,换元,令,原方程可化为,解得,或,即,或,高次方程解法例2（2）,解得：,高次方程解法例2（3）,例2（3）解方程,解：,原方程即,换元,令,原方程可化为,解得,或,即,（舍去）,解得,或,解得,解高次方程的一般步骤,1、整理方程，右边化为0.2、将方程左边因式分解，或者进行换元 3、将方程转化为若干个一次或二次方程 4、写出原方程的根.,解高次方程的思路是：,高次方程,一次或二次方程,因式分解、换元,高次方程解法方法提炼,1.可通过因式分解将高次方程转化为 一次或二次方程,
3、2.可通过换元将高次方程转化为一次或二次方程,3.n次方程最多有n个实数根,二、分式方程的解法,知识要点 二.分式方程的解法,1、什么是分式方程,分母中含有未知数的方程叫分式方程.,2、分式方程的解法,我们可通过将方程两边同乘以最简公分母 或者换元将分式方程转化为整式方程.,3、解分式方程的注意点,在解分式方程后都必需检验,这是因为从分式 方程到整式方程的转化有时不是等价的.,分式方程解法例3（1）,例3（1）解方程,解：,两边同乘以最简公分母,得,解得,经检验，,是原方程的解.,分式方程解法例3（2）,例3（2）解方程,化简为,解：,两边同乘以最简公分母,得,解得,经检验,是增根，原方程无解
4、.,为什么会产生增根？,增根的定义,增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根.,产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.所以我们解分式方程时一定要代入最简公分母检验,使最简公分母值为零的根,解分式方程的一般步骤,1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.2、解这个整式方程.3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4、写出原方程的根.,解分式方程的思路是：,分式方程,整式方程,去分母,一化二解三检验,分式方程
5、解法例4,例4 解方程,解：,令,原方程可化为,即,解得,所以,或,分式方程解法例4,即,或,解得,经检验 以上均为原方程的根.,换元可以使运算变得简便,分式方程解法例5,已知关于,的方程,的解为负数,的范围.,例5,求实数,解：,左边通分,所以,所以,，,且,解得,且,分式方程解法方法提炼,在分式方程两边同乘以最简公分母，可把分式方程化为整式方程,2.换元可以使解方程的过程变得简便,3.解分式方程时应注意检验,一化二解三检验,三、无理方程的解法,知识要点 三.无理方程的解法,1、什么是无理方程,根号内含有未知数的方程叫无理方程.,2、无理方程的解法,我们可通过将方程两边平方或者换元 将无理方
6、程转化为有理方程.,3、解无理方程的注意点,在解无理方程后必需检验,这是因为从无理 方程到有理方程的转化有时不是等价的.,无理方程解法例6（1）,例6（1）解方程,解：,解得,为增根,（,）,此题也可先解出方程*的根，再代回原方程检验.,为什么会产生增根？,无理方程解法例6（2）,例6（2）解方程,解：,移项，,两边平方，化简得,解得,或,经检验，,是原方程的根，,是增根.,无理方程解法例6（2）,例6（2）解方程,此题也可令,转化为,的一元二次方程,求解.,即,解得,或,（舍去）,即,解得,无理方程解法例7,例7 解方程,解：,移项得,两边平方，整理得,再两边平方，化简得,解得,经检验,为原
7、方程的根，,是增根.,方程一边出现两个根号时要先移项.,解无理方程的一般步骤,1、将方程的两边平方，化成有理方程.有时要先移项，再平方 2、解这个有理方程.3、把有理方程的解代入原方程检验 4、写出原方程的根.,解无理方程的思路是：,无理方程,有理方程,去根号,一化二解三检验,无理方程解法例8,例8 解方程,解：,令,则原方程化为,解得,（舍去）,所以,解得,经检验,都是原方程的根.,通过换元可将原方程化为关于,的一元二次方程.,无理方程解法方法提炼,移项，平方可把无理方程化为有理方程,2.换元可以使解方程的过程变得简便,3.解无理方程时应注意检验,一化二解三检验,课堂小结,三种方程高次、分式、无理方程的解法,3.一个思想等价转化的数学思想,2.一个方法换元,
