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1、第七节 晶体的非简谐效应,3.7.1 热膨胀,本节主要内容:,3.7.2 热传导,3.7 晶体的非简谐效应,简谐近似：,(1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；,(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。,用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。,晶体的非简谐效应：,微扰项,声子间有相互作用,能量交换,系统达到热平衡,两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子。这可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。,声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量
2、守恒,碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。,以下用非简谐近似理论解释晶体的热膨胀和热传导现象,3.7.1 热膨胀,热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。,假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R0附近作振动，离开平衡位置的位移用表示，势能在平衡位置附近展开：,1.物理图象,（1）简谐近似,两原子间距不变，无热膨胀现象,（2）非简谐效应,两原子间距增大，有热膨胀现象。,由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移,2.理论计算,(c、g均为正常数。),(1)简谐近似：,在简谐近似下无热膨胀现象。,是的奇函数,(2)非简谐效应:,在非简谐效应下，有热膨胀现
3、象。,公式推导,结束,线膨胀系数,当势能只保留到3次方项时，线膨胀系数与温度无关。,若保留更高次项，则线膨胀系数与温度有关。,显然，在简谐近似下，g=0，=0。,3.7.2 热传导,当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等达到新的热平衡,这种现象称为热传导。,(为正值)为热传导系数或热导率。,负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。,晶体热传导,电子热导,晶格热导,电子运动导热(金属),格波的传播导热(绝缘体、半导体),(1)气体热传导,CV单位体积热容,-平均自由程,热运动平均速度,1.微观解释,(2)晶格热传导,晶格热振动看成是“声子气体”，,CV单位体积热容,
4、-声子自由程,声子平均速度(常取固体中声速),2.讨论与T的关系,1)高温时，TD,CV单位体积热容，-声子自由程，声子平均速度(常取固体中声速)。,基本与温度无关，Cv和与温度密切相关,(2)低温时，TD,因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整的晶体，(D为晶体线度)。,实际上热导系数并不会趋向无穷大。,低温时：,完整晶体当温度趋向零度时，热导率是多少？,第三章 晶格振动总 结,三维晶格振动、声子,一维晶格振动,确定晶格振动谱的实验方法,晶体比热,晶体的非简谐效应,长波近似,振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)2项,3次方以上的高次项均忽略掉的近似为简谐近似(
5、忽略掉作用力中非线性项的近似)。,格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。,一维晶格振动,在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。,模型,运动方程,试探解,色散关系,波矢q范围,一维无限长原子链，m，a，,晶格振动波矢的数目=晶体的原胞数,B-K条件,波矢q取值,一维双原子链振动,3nN声子,3N声学声子，(3n-3)N光学声子。,3nN个振动模式,晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。,N是晶体的原胞个数，n是原胞内原
6、子个数，m是维数。,三维晶格振动、声子,长 波 近 似,长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。,离子晶体的长光学波,(1)式代表振动方程，右边第一项 为准弹性恢复力，第二项表示电场 附加了恢复力。,(2)式代表极化方程，表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 附加了极化。,-黄昆方程,1.黄昆方程,-著名的LST关系,光频介电常量,静电介电常量,(2)铁电软模(光学软模),3.极化声子和电磁声子,因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。,长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学横波声子为电磁声子。,2.LST关系,确定
7、晶格振动谱的实验方法,中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。,1.方法：,2.原理(中子的非弹性散射),3.仪器：,由能量守恒和准动量守恒得：,“+”表示吸收一个声子,“-”表示发射一个声子,三轴中子谱仪。,2.频率分布函数,定义：,计算：,晶 体 比 热,3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型,1.固体比热的实验规律,(1)在高温时，晶体的比热为3NkB；,(2)在低温时，绝缘体的比热按T3趋于零。,(1)晶体中原子的振动是相互独立的；(2)所有原子都具有同一频率；,(3)设晶体由N个原子组成,共有3N个频率为的振动。,(1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波；,(2)有一支纵波两支横波；,(
8、3)晶格振动频率在 之间(D为德拜频率)。,爱因斯坦模型,德拜模型,高温时与实验相吻合，低温时以比T3更快的速度趋于零。,高低温时均与实验相吻合，且温度越低，与实验吻合的越好。,爱因斯坦模型,德拜模型,1.非简谐效应：,3.晶体的热膨胀现象：,4.晶体的热传导现象：,2.声子与声子相互作用：,晶体的非简谐效应,习题,1,已知由N个质量为m，间距为,的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为：,，(1)试给出它的格波态密度,(2)试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率,的意义。,2，解释晶格振动热容理论时，爱因斯坦模型与德拜模型最大的区别在哪里？在高温极限和低温极限时，它们的热容表达式是什么样的？,3，简述黄昆方程及其物理意义,
