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1、,第四章 平面问题的极坐标解答,平面问题的极坐标解答,第四章 平面问题的极坐标解答,4-1 极坐标中的平衡微分方程,4-9 圆孔的孔边应力集中,4-4 应力分量的坐标变换式,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,4-2 极坐标中的几何方程及物理方程,4-5 轴对称应力和相应的位移,4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞,4-7 曲梁的纯弯曲,4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移,4-10 楔形体在楔顶或楔面受力,4-11 半平面体在边界上受法向集中力,习题课,4-1 极坐标中的平衡微分方程,在处理弹性力学问题时，选择什么形式的坐标系统，虽不会影响对问题本质的描绘，但却直接关系到解决问题的难易程
2、度。如坐标选得合适，可使问题大为简化。例如对于圆形、楔形、扇形等物体，采用极坐标求解比用直角坐标方便的多。,图41,考虑平面上的一个微分体，沿 方向的正应力称为径向正应力，用 表示，沿 方向的正应力称为切向正应力，用 表示，剪应力用 表示，各应力分量的正负号的规定和直角坐标中一样。径向及环向的体力分量分别用 及 表示。如图4-1。,平面问题的极坐标解答,考虑图示单元体的平衡，有三个平衡方程：,由，可以得出剪应力互等关系：,由，有：,由，有：,平面问题的极坐标解答,因为 很微小，所以取，并用 代替，整理以上两式，得：,这就是极坐标中的平衡微分方程。两个平衡微分方程中包含三个未知函数、和，所以问题
3、是静不定的。因此必须考虑变形条件和物理关系。,上述方程和直角坐标系下的平衡方程有所不同，直角坐标系中，应力分量仅以偏导数的形式出现，在极坐标系中，由于微元体垂直于半径的两面面积不等，而且半径愈小差值愈大，这些反映在方程里带下划线的项中。,平面问题的极坐标解答,一、几何方程位移与形变间的微分关系,4-2 极坐标中的几何方程及物理方程,平面问题的极坐标解答,在极坐标中规定:,用叠加法讨论极坐标中的形变与位移间的微分关系。,图4-2,（1）假定只有径向位移，而无环向位移。如图4-2所示。,平面问题的极坐标解答,径向线段 的正应变为：,径向线段 的转角为：,可见剪应变为：,平面问题的极坐标解答,（2）
4、假定只有环向位移，而无径向位移。如图4-3所示。,径向线段 的正应变为：,径向线段 的转角为：,可见剪应变为：,平面问题的极坐标解答,如果同时存在径向和环向位移，则由叠加法得：,这就是极坐标中的几何方程。,二、物理方程,（1）平面应力情况：,平面问题的极坐标解答,（2）平面应变情况：,将上式中的 换为，换为。,4-3 极坐标中的应力函数与相容方程,平面问题的极坐标解答,为了得到极坐标中用应力函数表示的应力和相容方程，利用极坐标和直角坐标的关系：,得到：,平面问题的极坐标解答,在=0时，极坐标的各分量和直角坐标各分量相同。将上面各式代入应力分量的表达式（常体力）：,（a）,（b）,（c）,平面问
5、题的极坐标解答,得到：,可以证明，当体力为零时，这些应力分量确能满足平衡微分方程。,由（a）+（b），得：,于是由直角坐标的相容方程：,得到极坐标中的相容方程：,平面问题的极坐标解答,4-4 应力分量的坐标变换式,平面问题的极坐标解答,在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。,设已知极坐标中的应力分量、。试求直角坐标中的应力分量、。,图4-4,如图4-4，在弹性体中取微小三角板，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令 边的长度为，则 边及 边的长
6、度分别为 及。,平面问题的极坐标解答,用 代替，得：,同理，由平衡条件，可得：,另取微小三角板，如图4-4，根据平衡条件，得到：,综合以上结果，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：,平面问题的极坐标解答,利用简单的三角公式，上式可改写为：,4-5 轴对称应力和相应的位移,平面问题的极坐标解答,如果应力分量仅是半径的函数，如受内外压的圆环，称为轴对称问题。,采用逆解法，假定应力函数 仅是径向坐标 的函数:,相容方程简化为:,这是一个四阶常微分方程，它的通解为:,这时，应力分量的表达式为:,平面问题的极坐标解答,正应力分量仅是 的函数，与 无关，并且剪应力为零，应力分量对称于通过z轴的任一平
7、面，称为轴对称应力。,将上述应力的表达式代入应力应变关系式中，可以得到应变的表达式,再代入位移与应变积分后的几何方程,得到轴对称应力状态下的位移分量:,平面问题的极坐标解答,对于平面应变问题，须将上面公式 换为，换为。,4-6 圆环或圆筒受均布压力。压力隧洞,平面问题的极坐标解答,如图4-5，圆环的内半径为a，外半径为b，受内压力qa，外压力qb。为轴对称问题。根据上节有解为:,图4-5,边界条件为:,一、圆环或圆筒受均布压力,平面问题的极坐标解答,在这里只有两个方程，而有三个待定常数，需要从多连体的位移单值条件补充一个方程。,在环向位移表达式：,这样从上面两个方程中可解出A和C，代入应力分量
8、表达式，得到拉密解答：,由边界条件得到:,平面问题的极坐标解答,下面分别讨论内压力和外压力单独作用的情况。,（1）只作用均匀内压时（），例如液压缸，上面解答化为：,图4-6,平面问题的极坐标解答,应力分布大致如图4-6所示。,当 时，得到具有圆孔的无限大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体，这时上面的解答成为：,（2）只有外压时（），例如液压柱塞，上面解答化为：,应力分布大致如图4-7所示。,图4-7,平面问题的极坐标解答,二、压力隧洞,图4-8,如图4-8所示，受均匀内压力 作用的圆筒埋在无限大弹性体中，圆筒和无限大弹性体的材料不同。试分别讨论两者的应力和位移情况。,两者都属于轴对称应力问题，
9、采用半逆解法。,设圆筒的应力表达式为：,平面问题的极坐标解答,设无限大弹性体的应力表达式为：,由应力边界条件求待定常数、。,（1）在圆筒的内表面：,由此得：,（2）在无限大弹性体内距离圆筒很远处几乎没有应力。,由此得：,（3）在圆筒和无限大弹性体的接触面上，应当有：,（1）,（2）,平面问题的极坐标解答,由此得：,三个方程不足以确定四个常数，下面来考虑位移。,由于圆筒和无限大弹性体都是多连体，并属于平面应变问题，可以写出两者的径向位移的表达式。,圆筒：,无限大弹性体：,将以上两式简化后得：,（3）,平面问题的极坐标解答,在接触面上，两者应具有相同的位移，即：,因此有：,因为这一方程在接触面上的
10、任意一点都应当成立，也就是在 取任何数值时都应当成立，所以方程两边的自由项必须相等。于是有：,简化后，得：,其中：,（4）,平面问题的极坐标解答,联立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出、，代入应力分量的表达式，得：,当 时，应力分布大致如图4-8所示。,4-7 曲梁的纯弯曲,平面问题的极坐标解答,内半径为a，外半径为b的狭矩形截面的圆轴曲梁，在两端受大小相等、方向相反的弯矩，为轴对称问题。有：,边界剪应力都为零：,图4-9,平面问题的极坐标解答,在梁的内外两面，正应力要求:,从而可得：,在梁端的边界条件要求:,则：,平面问题的极坐标解答,将 的表达式：,代入，并由边界条件得：,在这里有三个
11、方程和三个待定常数，解出A、B和C，代入应力分量表达式，得到郭洛文解答:,其中：,4-8 圆盘在匀速转动中的应力及位移,平面问题的极坐标解答,一、等厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移,设有等厚度圆盘，绕其回转轴以匀角速度 旋转。圆盘可以认为是在下面的体力作用下处于平衡状态：,令：,(1),平面问题的极坐标解答,消去，得到相容方程：,解方程得到：,将物理方程代入，再联立式(1)，得到由应力函数 表示的相容方程：,联立式（1），得：,(2),平面问题的极坐标解答,其中 和 是任意常数。,盘边的边界条件：,其中 是圆盘的半径。代入式（2），得：,取，代入式（2）得应力分量的表达式为：,最大应力在圆盘的
12、中心：,径向位移：,平面问题的极坐标解答,在圆盘的中心（），。最大弹性位移发生在圆盘的边缘（）：,二、变厚度圆盘在匀速转动中的应力及位移,假定圆盘的厚度为，而应力不沿厚度变化，则等厚度圆盘的微分方程可以近似地应用于每单位厚度的圆盘。于是可得全厚度内的平衡微分方程为：,令：,可得：,取厚度的变化规律为：,其中 是常数，为任意正数。则上式成为：,平面问题的极坐标解答,解方程，得：,其中 和 是任意常数，而：,由此可得出应力分量：,由边界条件，求得：,平面问题的极坐标解答,为了应力在圆盘的中心（）处不成为无限大，取。,从而得应力分量为：,且，有：,4-9 圆孔的孔边应力集中,平面问题的极坐标解答,板
13、中开有小孔，孔边的应力远大于无孔时的应力，也远大于距孔稍远处的应力，称为孔边应力集中。应力集中的程度与孔的形状有关。一般说来，圆孔孔边的集中程度最低。这里简略讨论圆孔孔边应力集中问题，较为复杂的孔边应力集中问题一般用复变函数方法，在第五章中进行讨论。,图4-10,一、矩形板左右两边受集度为q的均布拉力,平面问题的极坐标解答,以远大于 的某一长度 为半径，以小孔中心为圆心作圆，根据直角坐标与极坐标的变换公式，得到大圆的边界条件：,上述面力可以分解成两部分，其中第一部分是：,第二部分是：,求面力（a）所引起的应力。令：。得：,(a),(b),平面问题的极坐标解答,由于，所以可近似地取，从而得到解答
14、：,求面力（b）所引起的应力。采用半逆解法：假设 为 的某一函数乘以，而 为 的另一函数乘以。即：,又应力函数和应力分量之间的关系为：,因此可以假设：,代入相容方程，得：,平面问题的极坐标解答,删去，求解常微分方程，得：,从而得应力函数：,从而得应力分量：,由边界条件：,得到方程：,平面问题的极坐标解答,求解、，令，得：,将各已知量代入应力分量表达式，即得齐尔西的解答：,平面问题的极坐标解答,二、矩形板四边受均布拉力,如果矩形薄板在左右两边受有均布拉力，并在上下两边受有均布拉力，如图4-11，也可由前面解答得出应力分量。首先命该解答中的 等于，然后命该解答中的 等于，将 用 代替，最后将两个结
15、果相叠加。得到：,图4-11,4-10 楔形体在楔顶或楔面受力,平面问题的极坐标解答,图4-12,楔形体的中心角为，下端为无限长。1.顶部受集中力P 设楔形体在楔顶受有集中力，与楔形体的中心线成角。取单位宽度的部分来考虑，并令单位宽度上所受的力为。楔形体内一点的应力分量决定于、P、r、，因此，应力分量的表达式中只包含这几个量。其中、是无量纲的量，因此根据应力分量的量纲，应力分量的表达式应取PN/r的形式，其中N是、组成的无量纲的量。由应力函数的表达式可以看出应力函数中r的幂次应当比各应力分量的幂次高出两次，因此可设：,平面问题的极坐标解答,代入相容方程后得：,求解这一微分方程，得：,于是得：,
16、平面问题的极坐标解答,楔形体左右两面的边界条件：,上述应力分量满足该边界条件。集中力P按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力和P合成平衡力系：,将 的表达式代入，可求出C、D，最后得到密切尔解答：,平面问题的极坐标解答,2.顶部受有力偶M作用,图4-13,设楔形体在楔顶受有力偶，而每单位宽度内的力偶矩为M，如图4-13。,根据和前面相似的分析，应力分量应为MN/r2的形式，而应力函数应与r无关。,代入相容方程后，得：,求解这一微分方程，得：,力偶可看成反对称力，正应力和应力函数应当是 的奇函数，从而A=D=0,于是：,平面问题的极坐标解答,楔形体左右两面边界条件：,上述应力分量
17、自动满足第一式，根据第二式，可得：,于是：,平面问题的极坐标解答,集中力偶M按圣维南原理处理，取出任一圆柱面ab，则该截面上的应力与M成平衡力系：,最后得到英格立斯的解答：,3.一面受均布压力q,平面问题的极坐标解答,图4-14,设楔形体在一面受有均布压力,如图4-14。,应力分量应为qN的形式，而应力函数应为qNr2的形式：,代入相容方程后，得：,求解这一微分方程，得:,平面问题的极坐标解答,边界条件为:,求解常数，得应力分量的李维解答：,4-11 半平面体在边界上受法向集中力,平面问题的极坐标解答,利用坐标变换可得到直角坐标中的应力分量式（2）：,（1）,（2）,命楔形体的中心角等于一个平
18、角，这楔形体的两个侧边就连成一个直边，而楔形体就成为一个半平面体，如图4-15。,一、应力分量,当平面体在边界上受有垂直于边界的力 时，在密切尔解答中令、。于是得式（1）：,图4-15,平面问题的极坐标解答,或将其中的极坐标改为直角坐标而得：,二、位移分量,假设是平面应力情况。将应力分量代入物理方程，得形变分量：,再将形变分量代入几何方程，得：,平面问题的极坐标解答,于是可以得出位移分量：,其中、都是任意常数。,由对称条件，得：,代入式（3），得：,（3）,平面问题的极坐标解答,如果半平面体不受铅直方向的约束，则常数 不能确定。如果半平面体受有铅直方向的约束，就可以根据这个约束条件来确定常数。
19、,（4）,边界上任意一点 向下的铅直位移，即所谓沉陷。由式（4）中的第二式可得 点的沉陷为：,如果常数 没有确定，则沉陷也不能确定。这时只能求出相对沉陷。,在边界上取定一个基点，它距载荷作用点的水平距离为。则边界上一点 对于基点 的相对沉陷，等于 点的,平面问题的极坐标解答,沉陷减去 点的沉陷，如图4-16：,简化以后，得：,图4-16,半平面体在边界上受法向分布力作用时的应力和沉陷,可以由半平面体在边界上受法向集中力用叠加法得出。,平面问题的极坐标解答,练习1 如图1所示，由内外筒组成的组合筒（长度有限，两端自由），装配前内筒的外半径比外筒的内半径大，求接触压力，并导出环向预应力的表达式。,
20、解：,1.设装配后接合处的公共半径为，接触压力 使内筒的外半径减小了，而使外筒的内半径增大了，按位移协调条件有：,2.将 代入只受内压力作用圆环的位移公式，得：,（1）,（2）,平面问题的极坐标解答习题课,图1,平面问题的极坐标解答,（3）,将式（2）、（3）代入式（1），得：,3.若内、外筒为同一种材料，则，从上式可解得：,4.内、外筒的环向应力为：,将 代入只受外压力作用圆环的位移公式，得：,解：,平面问题的极坐标解答,练习2楔形体顶端受集中力 作用，与 轴的夹角为，如图2所示。取单位厚度考虑，试确定楔形体内的应力分量。,1.由于描述楔形体几何特征的角度 是无量纲的，故可由量纲分析法得知，
21、应力函数中 只能以一次幂形式出现，即：,2.由调和方程求出 后，即可求得应力函数为：,由于 不影响应力分量，故可删去，因此有：,（1）,（2）,（3）,（4）,图2,平面问题的极坐标解答,3.楔形体两侧面的边界条件能自然满足：,考虑半径为 的楔形体上部的静力平衡条件：,由前两式可解出 和，从而求出应力分量（密切尔解）：,平面问题的极坐标解答,练习3求图3所示问题的截面m-n上的应力。,解：,（a）,（b）,将图（a）所示力系向 点简化，便得图（b）所示与原力系静力等效的力系，其中。根据圣维南原理，此类代换对远离楔顶之处的应力的影响可不计。将楔顶受集中力作用与受力矩作用下的应力解答叠加，得原问题
22、的应力：,图3,平面问题的极坐标解答,由应力分量的坐标变换式可得：,平面问题的极坐标解答,练习4 试将以 表示的相容方程式 展开。,分项求偏导数，最后相加，得：,解：,平面问题的极坐标解答,平面问题的极坐标解答,平面问题的极坐标解答,练习5 等厚度圆环的内外半径分别为a和b，以等角速度 旋转，见图4a），试求其应力和位移。,y,1、本题为位移轴对称问题（平面应力情况），其特征是 只是r的函数，根据基本方程，求解本题的平衡微分方程为式（1）,其中 是材料的比重，,g是重力加速度，几何方程与物理方程分别为：,解：,图4,平面问题的极坐标解答,把式（3）代入式（1），得：,式（4）代入式（3）得应力表达式为：,平面问题的极坐标解答,式中，。,2、由内外圈的边界条件确定常数，进而求出位移和应力：,平面问题的极坐标解答,练习6 楔形体右侧面受均布荷载q作用，见图5。试求其应力分量。,2、由双调和方程确定f（），由平衡微分方程在一般情况下的通解得应力表达式：,图5,平面问题的极坐标解答,3、应力边界条件为：,由此可求出常数，代回式（3）得应力分量（李维解答）为：,结 束,平面问题的极坐标解答,
