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1、,第二章 平面问题的基本理论,平面问题的基本理论,第二章 平面问题的基本理论,2-1 平面应力问题与平面应变问题,2-2 平衡微分方程,2-3 斜面上的应力。主应力,2-4 几何方程。刚体位移,2-5 物理方程,2-6 边界条件,2-7 圣维南原理,2-8 按位移求解平面问题,2-9 按应力求解平面问题。相容方程,2-10 常体力情况下的简化,2-11 应力函数。逆解法与半逆解法,习题课,1,一、平面应力问题,2-1 平面应力问题与平面应变问题,在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简
2、化和力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。,等厚度薄板，承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。z=0 zx=0 zy=0,图21,平面问题的基本理论,2,平面问题的基本理论,特点：,1)长、宽尺寸远大于厚度,2)沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力,平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上,无外力作用。,3,二、平面应变问题,很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。z=0 zx=0 zy=0,x,图 22,平面问题的基本理论,如：水坝、受内压
3、的圆柱管道和长水平巷道等。,4,2-2 平衡微分方程,平面问题的基本理论,5,略去二阶及二阶以上的微量后便得 同样、都一样处理，得到图示应力状态。,对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程：,将上式的两边除以 得到：,平面问题的基本理论,6,下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列平衡方程：,平面问题的基本理论,7,整理得:,平面问题的基本理论,8,2-3 斜面上的应力。主应力,一、斜面上的应力 已知弹性体内任一点P处的应力分量，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在P点附近取一个平面AB，它平行于上述斜面，并与经过P点而垂
4、直于x轴和y轴的两个平面画出一个微小的三角板或三楞柱PAB。当平面AB与P点无限接近时，平面AB上的平均应力就成为上述斜面上的应力。,设AB面在xy平面内的长度为dS，N为该面的外法线方向，其方向余弦为：,平面问题的基本理论,9,斜面AB上全应力沿x轴及y轴的投影分别为XN和YN。由PAB的平衡条件 可得：,除以 即得：,同样由 得出：,斜面AB上的正应力，由投影可得：,斜面AB上的剪应力，由投影可得：,平面问题的基本理论,10,二、主应力,如果经过P点的某一斜面上的剪应力等于零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。,
5、1.主应力的大小,2.主应力的方向 与 互相垂直。,平面问题的基本理论,11,2-4 几何方程、刚体位移,在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图2-5所示。弹性体受力以后P、A、B三点分别移动到P、A、B。,图25,一、P点的正应变,在这里由于小变形，由y方向位移v所引起的PA的伸缩是高一阶的微量，略去不计。,平面问题的基本理论,12,同理可求得：,二、P点的剪应变,线段PA的转角：,同理可得线段PB的转角：,所以,平面问题的基本理论,13,因此得到平面问题的几何方程：,由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定
6、。反之，当形变分量完全确定时，唯一分量却不能完全确定。,平面问题的基本理论,14,2-5 物理方程,在完全弹性的各向同性体内，形变分量与应力分量之间的关系根据虎克定律建立如下：,平面问题的基本理论,15,式中，E为弹性模量；G为刚度模量；为泊松比。三者的关系：,一、平面应力问题的物理方程,且有：,平面问题的基本理论,16,二、平面应变问题的物理方程,三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间的 变换关系,将平面应力中的关系式：,平面问题的基本理论,17,作代换,就可得到平面应变中的关系式：,由于这种相似性，在解平面应变问题时，可把对应的平面问题的方程和解答中的弹性常数进行上述代换，就可
7、得到相应的平面应变问题的解。,平面问题的基本理论,18,2-6 边界条件,当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和混合边界问题。,一、位移边界条件,平面问题的基本理论,19,二、应力边界条件,当物体的边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件。,其中 和 为面力分量，、为边界上的应力分量。,当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化为：,当边界面垂直于 轴时，应力边界条件简化为：,平面问题的基本理论,20,三、混合边界条件,1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而
8、具有位移边界条件，令一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分别有应力边界条件和位移边界条件。如图2-6，悬臂梁左端面有位移边界条件：,上下面有应力边界条件：,右端面有应力边界条件：,图2-6,平面问题的基本理论,21,2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。如图2-7连杆支撑边界条件：,如图2-8齿槽边界条件：,图2-7,平面问题的基本理论,22,2-7 圣维南原理,一、圣维南原理,如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。,二、举例,设有柱形构件，在两
9、端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力，如图2-9a。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，如图2-9b或2-9c，只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于，其中 为构件的横截面面积，如图2-9d，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。,平面问题的基本理论,25,在上述四种情况下，离开两端较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。,注意：,应用圣维南原理，绝不能离开“静力等效”的条件。,平面问题的基本理论,26,2-8 按位移求解平面问题,在弹性力学里求解问题，有三种基本方法：按位移求解、按应力求解和混
10、合求解。,按位移求解时，以位移分量为基本未知函数，由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出形变分量，从而用物理方程求出应力分量。,一、平面应力问题,在平面应力问题中，物理方程为：,平面问题的基本理论,27,由上列三式求解应力分量，得：,将几何方程代入，得弹性方程：,再将式（a）代入平衡微分方程，简化以后，即得：,（a）,这是用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移求解平面应力问题时所需用的基本微分方程。,（1）,平面问题的基本理论,28,将（a）式代入应力边界条件，简化以后，得：,这是用位移表示的应力边界条件，也就是按位移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。,
11、（2）,总结起来，按位移求解平面应力问题时，要使得位移分量满足微分方程（1），并在边界上满足位移边界条件或应力边界条件（2）。求出位移分量以后，用几何方程求出形变分量，再用物理方程求出应力分量。,二、平面应变问题,只须将平面应力问题的各个方程中 和 作代换：,平面问题的基本理论,29,2-9 按应力求解平面问题。相容方程,按位移求解平面问题时，必须求解联立的两个二阶偏微分方程，这在数学上是相当困难的。而按应力求解弹性力学平面问题，则避免了这个困难，故更多采用的是按应力求解。,按应力求解时，以应力分量为基本未知函数，由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出形变分
12、量，从而用几何方程求出位移分量。,相容方程,由平面问题的几何方程：,平面问题的基本理论,30,可得：,即：,这个关系式称为形变协调方程或相容方程。,（一）平面应力相容方程,（二）平面应变相容方程,平面问题的基本理论,31,按应力求解平面问题时，无论是平面应力问题还是平面应变问题，应力分量除了满足平衡微分方程和相容方程外，在边界上还应当满足应力边界条件。,平面问题的基本理论,32,2-10 常体力情况下的简化,可见，在常体力的情况下，应当满足拉普拉斯微分方程（调和方程），应当是调和函数。用记号 代表，上式简写为：,常体力下，两种平面问题的相容方程都简化为：,结论,在单连体的应力边界问题中，如果两
13、个弹性体具有相同的边界形状，并受到同样分布的外力，那么，不管这两个弹性体的材料是否相同，也不管它们是在平面应力情况下或是在平面应变情况下，应力分量、的分布是相同的（两种平面问题中的应力分量，以及形变和位移，却不一定相同）。,平面问题的基本理论,33,推论2,在用实验方法测量结构或构件的上述应力分量时，可以用便于量测的材料来制造模型，以代替原来不便于量测的结构或构件材料；还可以用平面应变情况下的长柱形的结构或构件。,推论3,常体力的情况下，对于单连体的应力边界问题，还可以把体力的作用改换为面力的作用，以便于解答问题和实验量测。,平面问题的基本理论,34,2-11应力函数。逆解法与半逆解法,一、应
14、力函数,按应力求解应力边界问题时，在体力为常量的情况下，应力分量、应当满足平衡微分方程：,（a）,以及相容方程,（b）,方程（a）的解包含两部分：任意一个特解和下列齐次微分方程的通解。,平面问题的基本理论,35,特解取为：,将齐次微分方程（c）中前一个方程改写为：,根据微分方程理论，一定存在某一个函数，使得：,（c）,（d）,平面问题的基本理论,36,同样将（c）中的第二个方程改写为：,也一定存在某一个函数，使得：,（g）,（h）,由式（f）及（h）得：,因而一定存在某一个函数，使得：,（i）,（j）,平面问题的基本理论,37,将式（i）代入（e），式（j）代入（g），并将式（i）代入（f），
15、即得通解：,（k）,将通解（k）与特解（d）叠加，即得微分方程（a）的全解：,函数 称为平面问题的应力函数，也称为艾瑞应力函数。,（1）,为了应力分量（1）同时也能满足相容方程（b），将（1）代入式（b），即得：,上式可简化为：,平面问题的基本理论,38,或者展开为：,进一步简化为：,（2）,按应力求解应力边界问题时，如果体力是常量，就只须由微分方程（2）求解应力函数，然后用公式（1）求出应力分量，但这些应力分量在边界上应当满足应力边界条件。,二、逆解法与半逆解法,逆解法：先设定各种形式的、满足相容方程（2）的应力函 数，用公式（1）求出应力分量，然后根据应力边界条件来考察，在各种形状的弹性体
16、上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。,平面问题的基本理论,逆解法基本步骤：,39,半逆解法：针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分和全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。,平面问题的基本理论,半逆解法基本步骤：,40,平面问题的基本理论习题课,练习1 悬臂梁上部受线形分布载荷，如图
17、所示。试根据材料力学中 的表达式，再用平衡微分方程导出 和 的表达式。,解：由材料力学知，过 点横截面 上的弯矩为：,（1）,平面问题的基本理论,41,利用上、下面边界条件确定,将式（3）代入平衡微分方程中的第二式，得：,（4）,（3）,注意：式（1）、（3）、（4）表达的仅是静力可能的应力分量，若为正确解答，则还需满足以应力表示的相容方程。,平面问题的基本理论,42,练习2 如图所示为平面物体，角 和角 均为直角，其附近边界表面均不受外力，试说明、两点的应力状态。,平面问题的基本理论,43,练习3 试写出表中所示各平面物体的位移边界条件（用直角坐标），其中第二图中 点不动，过 点的水平线段无
18、转动。,解：各位移边界条件见表所列。,平面问题的基本理论,44,平面问题的基本理论,45,练习4 图所示的几种受力体是否为平面问题？若是，则是平面应力问题，还是平面应变问题？,q,h,z,y,o,Rh,a),Rh,b),平面问题的基本理论,Rl,c),图 a)所示为平面应力问题。图b）所示荷载垂直作用于板面，故为薄板弯曲问题。图c）所示荷载作用于板边，荷载及横截面沿z轴无变化，且Rl，故为平面应变问题。,平面问题的基本理论,解：,解：,练习5 如图所示薄板条在y方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖端A处无应力存在。,本题可视为平面应力问题，AB和AC都是自由边界（且），无面力作用，即
19、：。代入边界条件有：,AB边界：,平面问题的基本理论,AC边界：,由于A同处于AB，AC边界，因此，需同时满足式（1）和式（2），由此解得：，问题得证。,练习6 图a）所示为一矩形截面水坝，其右侧面受静水压力。顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件，固定边不必考虑。,平面问题的基本理论,解：1、列出应力边界条件（1）左边界：,（2）右边界：,平面问题的基本理论,（3）上端部：,练习7 图所示结构由两种不同材料构成。试求其在竖向均布荷载q作用下的位移和应力解答（设h，a，l，均已知）。,1、采用位移解法。由于此结构处于双向均匀受压状态（应力、应变为常量），因此，可假设其位移是线性函数，现分上、下两区域表达为：,平面问题的基本理论,解：,ABCD部分：,CDEF部分：,显然式（1）、式（2）能满足平面应力情况下的拉梅方程式。,2、考虑位移约束和变形连续条件：,由此解得：,平面问题的基本理论,平面问题的基本理论,平面问题的基本理论,3、考虑应力边界条件和应力连续条件（CD面为光滑接触）：,由此解得：,4、位移及应力分量为：,平面问题的基本理论,平面问题的基本理论,结 束,平面问题的基本理论,
