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1、第三章 平面问题,要点,建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,3.1 平面应力问题与平面应变问题,1.平面应力问题,(1)几何特征,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,平板,如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等,(2)受力特征,外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿 z 方向不变化。,(3)应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只
2、有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2.平面应变问题,(1)几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。,近似认为无限长,(2)外力特征,外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3)变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则,沿 z 方向都不变化，,仅为 x，y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,因为任一横截面均可视为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。,
3、平面位移问题,平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：,仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,3.平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力）、边界条件，,求：,仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：,平衡微分方程,几何方程,物理
4、方程,（1）应力边界条件；,（2）位移边界条件；,3-2 平面问题基本方程,3.2.1 平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近），,Z 方向取单位长度。,设P点应力已知：,体力：X，Y,AC面：,BC面：,注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。,由微元体PABC平衡，得,整理得：,剪应力互等定理,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,平面问题的平衡微分方程：,（2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：,超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；,（3
5、）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。,3.2.2 斜面上的应力 主应力,1.斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量XN，YN,设P点的应力分量已知：,斜面AB上的应力矢量:s,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（3）,整理得：,（4）,外法线,（2）斜面上的正应力与剪应力,（3）,（4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（5）,（6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2）的正负号规定,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。,任意斜截面
6、上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（18）,平面问题的应力边界条件,2.一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上，则该斜面上的正应力 称为该点一个主应力；,当 时，有,求解得：,（7）,平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（7）易得：,平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1，1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2，2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（8）,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直
7、。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1、2。,（3）N 的主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,（4）最大、最小剪应力,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、min 的方向与1（2）成45。,小结：,（18）,平面问题的应力边界条件,（1）斜面上的应力,（8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（7）,max、min 的方向与1（2）成45。,3.2.3 几何方程 刚体位移,建立：平面问题中应变与位移的关系,几何方程,1.几何方程,一点的变形,线段的伸长或缩短；,线段间的相对转动；,考察P点邻域内线段的变形：,
8、变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,整理得：,几何方程,（9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。,（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）,（3）,以两线段夹角减小为正，增大为负。,2.刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。即：,(a),(b),(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函
9、数，两边只能等于同一常数，即,(d),积分(e)，得：,(e),其中，u0、v0为积分常数。（x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10),刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：,P点沿切向绕O点转动,绕O点转过的角度（刚性转动）,3.2.4 斜方向的应变及位移,1.斜方向的正应变N,问题：,已知，求任意方向的线应变N 和线段夹角的变化。,设 P 点的坐标为(x，y)，N 点的坐标为（x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：,于是PN 在坐标轴上的投影为：,N 点位移：,变形后的P1N1在坐标方向的投影：,
10、设PN变形后的长度 P1N1=dr，PN 方向的应变为N，由应变的定义：,两边同除以(dr)2，得,化开上式，并将,的二次项略去，有,dr,（11）,2.P点两线段夹角的改变,变形前：,PN 的方向余弦,PN 的方向余弦,变形后：,P1N1 的方向余弦,P1N1 的方向余弦,化简，得：,略去二阶小量；,同理，得：,PN 与 PN变形后的夹角改变为：,代入，并利用：,并略去高阶小量，有,（12）,从中求出变形后两线段间的夹角,进一步求出,3.斜方向应变公式的应用,3.斜方向应变公式的应用,（1）,已知一点的应变，可计算任意方向的应变。的最大值、最小值。主应变、主应变方向等。,（2）,已知一点任意
11、三方向的应变，可求得该点的应变分量。,若 用45应变花测构件表面应变：,若 用120应变花测构件表面应变，即：,求得该点的应变分量:,作为作业！,3.2.5 物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,1.各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（13）,其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又称泊松比。,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（15）,平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2),物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,
12、由于平面应变问题中,（16）,平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,3.2.6 边界条件,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）,（2）几何方程：,（9）,（3）物理方程：,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2.边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边
13、界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界,三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：,（17）,平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得到：,（18）,式中：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：,平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x=0 的边界条件
14、，是有矛盾的。由此只能求出结果：,内容回顾：,1.,两类平面问题：,平面应力问题,平面应变问题,几何特征;,受力特征;,应力特征。,几何特征;,受力特征;,应变特征。,水坝,滚柱,位移边界条件,2.,平面问题的基本方程：,（1）平衡方程：,（2）,（2）几何方程：,（9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,（1）,（2）,应力边界条件,平面应力问题,例2,如图所示，试写出其边界条件。,(1),AB段（y=0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x=l）：,(3),AC段（y=x tan）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，
15、在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：,平面应力问题，在 AC、AB 边界上无面力作用。即,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界，满足式（1）和（2），解得,A 点处无应力作用,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,图示构件，试写出其边界条件。,例6,例5,图示楔形体，试写出其边界条件。,上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例6,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其
16、中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：,位移边界条件,应力边界条件,图(b)：,位移边界条件,应力边界条件,平面问题的基本方程,1.平衡微分方程,（2）,2.几何方程,（9）,3.物理方程,（平面应力问题）,（15）,4.边界条件,位移：,（17）,应力：,（18）,3.2.7 圣维南原理,问题的提出：,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1.静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而
17、言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,2.圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：,若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,3.圣维南原理的应用,(1),对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,如：,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧
18、面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,3.2.8 按位移求解平面问题,1.弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）,（2）几何方程：,（9）,（3）物理方程：,（4）边界条件：,（1）,（2）,2.弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法、刚度法）,以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方
19、程求出应力与形变分量。,（2）按应力求解（力法，柔度法）,以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,3.按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,（19）,（a）,将式(a)代入平衡方程，化简有,（20）,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（a）,将式（a）代入，得,（21）,（17）,式（20）、（17）、（21）构成按位移求解问题
20、的基本方程,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,（3）按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（20）,（2）边界条件：,位移边界条件：,（17）,应力边界条件：,（21）,3.2.9 按应力求解平面问题 相容方程,1.变形协调方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,（2）,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。,需寻求补充方程，,从形变、形,变与应力的关系建立补充方程。,将几何方程：,（9）,作如下运算：,显然有：,（22）,形变协调方程（或相容方程）,即：必须满足上式才能保证位
21、移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,例：,其中：C为常数。,由几何方程得：,积分得：,由几何方程的第三式得：,显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。,2.变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,（22）,利用平衡方程将上述化简：,（a）,将上述两边相加：,（b）,将(b)代入(a)，得：,将 上式整理得：,（23）,应力表示的相容方程,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比代为：，得,（24）,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,（25）,
22、3.按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（23）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,例8,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,解,（a）,（b）,（1）,将式（a）代入平衡方程：,满足,将式（a）代入相容方程：,式（a）不是一组可能的应力场。,例8,下面给出平面应力问题（单连
23、通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,（a）,（b）,（2）,解,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,例9,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满
24、足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,3.2.10 常体力情况下的简化,1.常体力下平面问题的相容方程,令：,拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：,平面应力情形,平面应变情形,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,或,（25）,2.常体力下平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）边界条件,（18）,（4）位移单值条件,对多连通问题而言。,讨论：,（1）,Laplace方程，,或称调和方程。,（2）,常体力下，方程中不含E、,（a）,（b）,不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计
25、算结果相同。,光弹性实验原理。,（3）,用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。,3.常体力下体力与面力的变换,平衡方程:,相容方程:,边界条件:,令：,常体力下，满足的方程：,(a),将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有,(b),(c),表明：,（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；,（2）变换后问题的边界面力改变为：,结论：,例如：,p,图示深梁在重力作用下的应力分析。,原问题：,体力：,边界面力：,所求应力：,变换后的问题：,体力：,边界面力：,(1)当 y=0 时，,(2)当 y=h 时，,(3)当 y=2h 时，,所求得的应
26、力：,原问题的应力,常体力下体力与面力转换的优点（好处）：,原问题的求解方程,变换后问题的求解方程,常体力问题,无体力问题,作用：,(1),方便分析计算（齐次方程易求解）。,(2),实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。,注意：,面力变换公式：与坐标系的选取有关，,因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。,主要内容回顾：,（1）按位移求解基本方程,（2）按应力求解平面问题的基本方程,相容方程,应力表示的相容方程,按应力求解的基本方程,常体力下可以简化：,求解方法？,3.3 应力函数 逆解法与半逆解法,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),式(
27、a)为非齐次方程，其解：,全解=齐次方程通解,1.平衡微分方程解的形式,(1)特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2)通解,式(a)的齐次方程：,(c),(d),的通解。,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,(e),(f),同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式(f)与(h)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,由微分方程理论，必存在一函数(x,y)，使得,(i),(j),将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解,(k),对应于平衡微分方程的齐次方程通解。,(3)全解,取特解为：,
28、则其全解为：,(26),常体力下平衡方程（a）的全解。,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y)平面问题的应力函数,Airy 应力函数,2.相容方程的应力函数表示,将式（2-26）代入常体力下的相容方程：,(25),有：,注意到体力 X、Y 为常量，有,将上式展开，有,(27),应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,式（2-27）可简记为：,或：,式中：,满足方程(2-27)的函数(x,y)称为重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应为一重调和函数,按应力求解平面问题（X=常量、Y=常量）的归结为：,（1）,(27),（2）,然后将 代入
29、式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,3.应力函数 求解方法,(28),（无体力情形）,3.应力函数 求解方法,（1）,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y)的形式；,（2）,主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y)可以求解什么问题。,（1）,根
30、据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及，求出(x,y)的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。,半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,本 章 小 结,1.,两类平面问题：,平面应力问题；平面应变问题。,（两类平面问题中基本方程的异同）,2.,平面问题的基本方程：,平衡方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,（几何特点、受力特点、应力或应变特点）,3.,平面问题的求解,（1）,按位移求解平面问题,（2）,按应力求解平面问题,基本方程：,（1）用位
31、移表示的平衡微分方程；,（2）用位移表示的应力边界条件；,（3）边界条件：应力、位移边界条件。,相容方程（形变协调方程）：,（应变表示形式、应力表示形式、应力函数表示。）,应力函数表示的应力分量表达式：,(2-26),常体力下的简化；,应力函数的求解方法：,（逆解法、半逆解法。）,按应力求解平面问题的基本步骤：,（1）,(27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,按应力求解平面问题的基本步骤：,4.,应力边界条件的列写及圣维南原理的应用.,5.,任意斜面上应力、主应力、主
32、方向；任意方向正应变的计算。,6.,任意斜面上线应变、变形后两线段夹角改变量的计算。,图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。,补充题,作 业,题2,将平面应变问题的物理方程（16），变换为用应变表示应力形式。,作业：,题1,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,题3,题4,图示楔形体，试写出其边界条件。,（题3图）,（题4图）,（1）,（2）,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,补充题,1.,作 业,2.,试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,题1,图示楔形体，试写出其边界条件。,题2,将平面应变问题的物理方程（16），变换为用应变表示应力形式。,作业：,题3,题4,试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,
