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1、牛顿第二定律给出了质点运动状态的改变与力的关系，称质点运动的动力学方程。下面讨论刚体转动的动力学方程，也称转动定律。,3-2 转动定律 转动惯量,一、刚体的定轴转动定律,作为质点系的特例，刚体的运动应当服从质点系角动量定理,沿固定轴轴的分量式为,1.定轴转动刚体的角动量,对z轴的角动量即z分量为,式中 和 分别为质点系所受的合外力矩与质点系角动量沿轴的分量。,刚体以的角速度 绕z轴作定轴转动,质量元 对o点的角动量为,整个刚体总角动量的z分量为,因为 与 垂直，且，则其大小为,(1),称刚体对于转轴的转动惯量，用 表示,由刚体各质量元相对于固定轴的分布所决定，与刚体的受力及运动状态无关。即,这
2、样式(1)可以写为,因为是定轴转动，常常略去下标，通常写为,可见，定轴转动刚体的角动量等于转动惯量与角速度的乘积。,2.定轴转动刚体的转动定律,由质点系对轴的角动量定理,将 代入有,因为是定轴转动，常略去下标，即表示为,上述结论称为刚体定轴转动的转动定律，也称刚体定轴转动的动力学方程。,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.,对比：,转动惯量：转动惯性大小的量度。,转动惯量,I 的意义：转动惯性的量度.,转动惯量的单位：kgm2,二、刚体转动惯量的计算,刚体的转动惯量与以下三个因素有关：,（3）与转轴的位置有关,（1）与刚体的质量有关,（2）与刚体的几何形状及
3、质量的分布有关,说 明,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,质量离散分布,I 的计算方法,质量连续分布,：质量元,解 设棒的线密度为，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,例1.一质量为、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。,如转轴过端点垂直于棒,例2 一质量为、半径为 的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量.,解 设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为 的圆环,而,圆环质量,所以,圆环对轴的转动惯量,2.平行轴定理,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量,质量为m，长为L的细棒绕其
4、一端的I,圆盘对P 轴的转动惯量,(2)为瞬时关系,(3)转动中 与平动中 地位相同,(1),与 方向相同,说明,转动定律应用,三、刚体转动定理的应用,例3.电风扇开启电源时，经t1时间达到额定转速，关闭电源时经t2时间停止。设电风扇的转动惯量为，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量。求：电风扇电机的电磁力矩。,由转动定律有,解.设电磁力矩、摩擦力矩分别为、,电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，,为启动角加速度，当电风扇达到额定转速时,(1),(2),当电风扇达到停止时,设电风扇关闭后的角加速度为，于是,(3),(4),求解方程组(1)(4)，得电磁力矩为,例4.一定滑轮半径为r，转动惯量为，
5、通过一轻绳两边系质量为m1 和m2 的物体，绳不能伸长，绳与滑轮也无相对滑动。求：滑轮转动的角加速度和绳的张力。,解.建立坐标如图，对m1 和m2,因为绳不能伸长有,(2),(1),对时间求二次导数得,对滑轮按转动定律列出方程,(3),又因为绳与滑轮无相对滑动,(4),求解方程组(1)(5)得,(5),将m1 和m2与滑轮作一个整体,转动惯量,合外力矩,所以,解法2,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例5一长为 l、质量为 m 匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,由角加速度的定义,积分得,m,l,O,mg,END,
