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1、第二章 静电场,主 要 内 容电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力,1.电场强度、电通及电场线,电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E 表示。,式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。,电场强度通过任一曲面的通量称为电通，以 表示,即,电场线方程,几种典型的电场线分布,由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。,2.真空中静电场方程,物理实验表明，真空中静电场的电场强度E 满足下列两个积分形式的方程,式中0 为真空介电常数。,左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。右式
2、表明，真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。,根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度，即,左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。,已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定理，电场强度E 应为,式中,将前述结果代入，求得,因此,标量函数 称为电位。因此，上式表明真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。,按照国家标准，电位以小写希腊字母 表示，上式应写为,将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为,若电荷分布在一个有限的表面上
3、，或者分布在一个有限的线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的面密度 S 及线密度l 的关系分别为,（1）高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正负电荷的总和。,静电场特性的进一步认识：,（2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。,（3）任意两点之间电场强度 E 的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。,（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。,例1 计算点电荷的电场强度。,点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的
4、结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。,取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律,上式左端积分为,得,或,也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时，。那么点电荷的电位为,求得电场强度 E 为,若直接根据电场强度公式（2-2-14），同样求得电场强度E为,例2 计算电偶极子的电场强度。,由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产
5、生的电位应为,若观察距离远大于两电荷的间距 l，则可认为，与 平行，则,式中l 的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积 q l 为电偶极子的电矩，以 p 表示，即,求得,那么电偶极子产生的电位为,利用关系式，求得电偶极子的电场强度为,上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。,例3 设半径为a，电荷体密度为 的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。,选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上下均匀无限
6、长，因此场量与 z 坐标无关。对于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z 轴，且与径向坐标 r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度 无关。,取半径为 r，长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律,因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为,当 r a 时，则电量q 为,求得电场强度为,当 r a 时，则电量q 为,求得电场强度为,上式中a2 可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为=a2 的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为 的无限长线电
7、荷的电场强度为,由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。,例4 求长度为L，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。,令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角 无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。,因场量与 无关，为了方便起见，可令观察点P 位于yz平面，即，那么,考虑到,求得,当长度 L 时，1 0，2，则,此结果与例3 导出的结果完全相同。,3.电位与等位面,静电场中
8、某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。,应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。,电位的数学表示,式中q 为电荷的电量，W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。,由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，
9、因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。,电位相等的曲面称为等位面，其方程为,式中常数 C 等于电位值。,4.介质极化,导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。,在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。,实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea 加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二
10、次电场 Es 又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。,介 质,合成场Ea+Es,介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P 表示，即,式中 pi 为体积 V 中第 i 个电偶极子的电矩，N 为V 中电偶极子的数目。这里 V 应理解为物理无限小的体积。,实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度 P 与介质中的合成电场强度 E 成正比，即,式中e 称为极化率，它是一个正实数。,
11、由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化率与电场方向无关，这类介质称为各向同性介质。有些介质并不是这样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 P 与电场强度 E 的关系可用下列矩阵表示,这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与电场强度方向有关，因此，这类介质称为各向异性介质。,空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。,极化率与时间无关的介质称为静止媒质，否则称为运动媒质。,介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、
12、各向同性与各向异性、静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。,因此，若极化率是一个正实常数，则适用于线性均匀且各向同性的介质。若前述矩阵的各个元素都是一个正实常数，则适用于线性均匀各向异性的介质。,极化率与电场强度的大小无关的介质称为线性介质，否则，称为非线性介质。,各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？,发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。可以证明这些极化电荷产生的电位为,式中 为极化强度
13、，它与极化电荷的关系为,由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表面束缚电荷是等值异性的。,右式又可写为积分形式,5.介质中的静电场方程,在介质内部，穿过任一闭合面 S 的电通应为,式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷，为闭合面S 中的束缚电荷。那么,令，求得,此处定义的 D 称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为,介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。,电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方
14、向，这些曲线称为电位移线。若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。,已知各向同性介质的极化强度，求得,令，,式中 称为介质的介电常数。已知极化率 e 为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。,则,实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以 r 表示，其定义为,可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。,各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为,此式表明，各向异性介质中，电位移的方
15、向与电场强度的方向不一定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的方向有关。此外，可以推知均匀介质的介电常数与空间坐标无关。线性介质的介电常数与电场强度的大小无关。静止媒质的介电常数与时间无关。,对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得,此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。,6.两种介质的边界条件,由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。,为
16、了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，围绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为,为了求出边界上的场量关系，必须令 h 0，则线积分,为了求出边界上某点的场量关系，必须令 l 足够短，以致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为,式中E1t 和 E2t 分别表示介质和中电场强度与边界平行的切向分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得,此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。,对于各向同性的线性介质，得,此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位移的切
17、向分量是不连续的。,为了讨论电位移的法向分量变化规律，在边界上围绕某点作一个圆柱面，其高度为h，端面为S。那么根据介质中的高斯定律，得知电位移通过该圆柱面的通量等于圆柱面包围的自由电荷，即,令 h 0，则通过侧面的通量为零，又考虑到 S 必须足够小，则上述通量应为,式中D1t 及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。边界法线的方向 en 规定为由介质指向介质。,求得,式中 s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此,此式表明，在两种介质边界上电位移的法向分量相等，或者说，电位移的法向分量是连续的。,对于各向同性的线性介
18、质，得,此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续的。,还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为,7.介质与导体的边界条件,静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡。,由此可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷的体分布。所以，当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。因为导体中不可能存在
19、静电场，因此导体中的电位梯度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。,既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即,导体表面存在的表面自由电荷面密度为,或写为,式中 为导体周围介质的介电常数。,已知导体表面是一个等位面，因，求得表面电位与电荷的关系为,考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表面束缚电荷面密度为,静电屏蔽：当封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电荷，腔中也不可能存在静电场。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应称为静电
20、屏蔽。,当然，总电通为零可能是由于闭合面内部没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违背了静电场的基本特性。,此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。,由于导体内部没有静电场，因此若沿腔壁内部作一个闭合曲面，通过其表面的电通一定为零。,例 已知半径为r1 的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1，球壳的外半径为 r3，球壳的外
21、表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4，介电常数为2，外部区域为真空，如左下图示。,试求：各区域中的电场强度；各个表面上的自由电荷 和 束缚电荷。,解 由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。,在 r r1及 r2r r3 区域中，因导体中不可能存静电场，所以E=0。,在 r1r r2 区域中，由，得,同理，在 r3r r4 区域中，求得,在 r r4 区域中，求得,根据 及，可以求得各个表面上的自由电荷及束缚电荷面密度分别为,r=r4:,8.电容与部分电容,由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q
22、与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的电容，即电容为,电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有 F。实际中，通常取 F（微法）及 pF（皮法）作为电容单位。,对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电容概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。,此时，各个导体上的电荷与导体间的电位差的关系为,式中Cii 称为第 i 个导体的固有部分电容；Cij 称为第 i 个导体与第j 个导体之间的互有部分电容。,例 已知同轴线的内导
23、体半径为 a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为。试求单位长度内外导体之间的电容。,解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。,设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则,那么内外导体之间的电位差 U 为,因此同轴线单位长度内的电容为,9.电场能量,已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生运动，这就意味着电场力作了功。静电场为了对外作功必须消耗自身的能量，可见静电场是具有能量的。如果静止带电体在外力作用下由无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变为
24、静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，根据电场力作功或外力作功与静电场能量之间的转换关系，可以计算静电场能量。,首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤立带电体的能量。,设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个dq 移入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为，则外力必须作的功为 dq，因此，电场能量的增量为 dq。已知带电体的电位随着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。那么当电量增至最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具有的能量为,已知孤
25、立导体的电位 等于携带的电量 q 与电容 C 的之比，即,代入上式，求得电量为Q 的孤立带电体具有的能量为,或者表示为,对于 n 个带电体具有的总能量，也可采用同样的方法进行计算。设每个带电体的电量均从零开始，且以同样的比例增长。若周围媒质是线性的，则当各个带电体的电量增加一倍时，各个带电体的电位也升高一倍。设第 i 个带电体的电位最终值为 i，电量的最终值为Qi，若某一时刻第 i 个带电体的电量为 qi=Qi，1 则此时刻该带电体的电位为 i=i。那么当各个带电体的电量均以同一比例 增长，外力必须作的功，也就是带电系统的电场储能增量为,当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总电场
26、能为,求得,当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，由，求得这种分布电荷的带电体总能量为,式中 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位，积分区域为电荷分布的空间。,从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以小写英文字母we 表示。,设两个导体携带的电量为Q1和 Q2，其表面积分别为 S1和 S2，如图所示。,已知电荷分布在导体的表面上，因此，该系统的总能量为,又知，,求得,若在无限远处再作一个无限大的球面 S，由于电荷分布在有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分,那么，上面的储能公式可写为,式中
27、。该闭合面 S 包围了静电场所占据的整个空间。那么，利用高斯定理，上式可写,考虑到区域 V 中没有自由电荷，所以，又，代入上式，求得,由此可见，静电场的能量密度,对于各向同性的线性介质，代入后得,此式表明，静电场能量与电场强度平方成正比。因此，能量不符合叠加原理。虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各个带电体分别产生的电场强度的矢量和，但是，其总能量并不等于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和。事实上，这是因为当第二个带电体引入系统中时，外力必须反抗第一个带电体对第二个带电体产生的电场力而作功，此功也转变为电场能量，这份能量通常称为互有能，而带电体单独存在时具有的能量称为固有能。,例 计算
28、半径为 a，电量为 Q 的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为。,解 可以通过三种途径获得相同结果。,（1）已知半径为a，电量为 Q 的导体球的电位为,那么求得,（2）已知导体表面是一个等位面，那么积分求得,（3）已知电量为 Q 的导体球外的电场强度为，能量密度为，那么沿球外整个空间积分求得,10.电场力,已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力。因此，点电荷 受到的电场力为,若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度，则,式中 为该点电荷周围介质的介电常数。那么，点电荷 受到点电荷q 的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷 的作用力为,式中er 为由 q 指向 的单位
29、矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验总结归纳的库仑定律。,已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但是，对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力是非常困难的，有时甚至无法求积。为了计算具有一定电荷分布的带电体之间的电场力，通常采用虚位移法。这种方法是假定带电体在电场作用下发生一定的位移，根据位移过程中电场能量的变化与外力及电场力所作的功之间的关系计算电场力。,以平板电容器为例，设两极板上的电量分别为+q 及-q，板间距离为 l。为了计算方便，假定在电场力作用下，极板之间的距离增量为dl。众所周知，两极板间的相互作用力实际上导致板间距离减小。因此，求出
30、的作用力应为负值。,既然认为作用力F 导致位移增加，因此，作用力F 的方向为位移的增加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为。根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即,由此求得,式中脚注 q=常数说明当极板发生位移时，极板上的电量没有发生变化，这样的带电系统称为常电荷系统。,已知平板电容器的能量为。对于常电荷系统，发生位移时电量 q 未变，只有电容 C 改变了。,式中S 为极板的面积，l 为两极板的间距。将这些结果代入上式，求得平板电容器两极板之间的作用力为,已知平板电容器的电容,式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。,如果假定发生位移时，电容器始终与电
31、源相连，这样，在虚位移过程中，两极板的电位保持不变，这种系统称为常电位系统。根据这种常电位的假定，也可以计算平板电容器两极板之间的作用力，所得结果应该与上完全相同。,设在电场力作用下，极板间距的增量为dl。由于电容改变，为了保持电位不变，正极板的电荷增量为dq，负极板的电荷增量为-dq。设正负极板的电位分别为 1 及 2，则电场能量的增量为,式中 为两极板之间的电压。,为了将 dq 电荷移至电位为 1的正极板，将电荷-dq移至电位为 2的负极板，外源必须作的功为,根据能量守恒原理，外源作功的一部分供给电场力作功，另一部分转变为电场能的增量，因此,求得,例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的
32、表面张力。,解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F 的作用下，使极板面积扩大了dS，则电场力作的功为FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场能量的减小值，即,已知平板电容器的能量为，代入上式，得,若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表面张力F 应为,那么将 代入，即可获得同样结果。,如果将 及 两式中的变量 l 理解为一种广义坐标，也就是说，l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的广义力。,显然，对于不同的广义坐标，其广义力的含义不同。对于位移而言，广义力就是普通概念的力，单
33、位为N；对于面积，广义力为表面张力，单位为N/m；对于体积，广义力为膨胀力或压力，单位为N/m2；对于角度，广义力为转矩，单位为Nm。若规定广义力的方向仍然为广义坐标增加的方向，那么，广义力与广义坐标的乘积仍然等于功。这样，前两式可分别改写为,两式中的微分符号变为偏微分是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标有关。l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见，带电系统的能量与多少种广义坐标有关，就存在多少种广义力。当带电系统的某一广义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该广义坐标发生变化的广义力。,例 计算带电肥皂泡的膨胀力。,解 设肥皂泡的电量为q，半径为a。利用常电荷系统公式，令式中广义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力F 为,已知半径为a，电量为q 的带电球的电位为,因此，携带的能量为,又知球的体积为,代入上式，得,
