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1、工程力学平衡方程的建立及应用,授课教师：谢奇之电话：邮箱：,31 平衡条件及平衡方程 32 平衡方程的应用 33 物体系的平衡、静定问题 34 考虑摩擦时的平衡问题,第三章 平衡方程的建立及应用,3-1 平衡条件及平衡方程,平衡状态：在力系作用下，刚体保持静止或做匀速直线运动。,任意力系 向一点简化 汇交力系+力偶系,主矢,主距,移动效应,转动效应,汇交力系,力偶系,移动效应,转动效应,零,平衡,一、汇交力系的平衡条件及平衡方程,平衡的充要条件：力系的合力为零。,以上三式称为空间汇交力系的平衡方程,平面汇交力系平衡的充要条件即平衡方程为：,二、力偶系的平衡条件与平衡方程,平衡方程为：,空间力偶
2、系的平衡条件：,平面力偶系平衡的充要条件：所有各力偶矩的代数和等于零,平面力偶系的平衡方程,三、任意力系的平衡条件及平衡方程,所以空间任意力系的平衡方程为：,同时也有四矩式，五矩式和六矩式，各有一定限制条件。,一般式,任意力系的平衡条件为：力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。,平面任意力系的平衡方程为：,一般式（一矩式）,平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。,二矩式,A、B两点的连线，不得与投影轴(此处为x 轴）垂直。,三矩式,A、B、C 三点不得共线。,以上各式各有三个独立方程，最多只能求出三个未知数。,
3、3-2 平衡方程的应用,例31、已知 P=2kN,CD为一根绳索，梁AB重量不计，求梁AB在A点和C点的受力。,解,1、取AB为研究对象,2、画出受力图,3、选投影轴，列平衡方程,由EB=BC=0.4m，,4、求解：,解：,例32、在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为m1=m2=m3=m4=15N.m。求工件的总切削力偶矩和A、B端反力?,2、画受力图,3、列平衡方程,4、求解,1、选研究对象,一、总切削力偶矩,二、求反力,例33、已知：AB=3m,AE=AF=4m,Q=20kN;求：绳BE、BF的拉力和杆AB在A点所受力。,解：,1、取研究对象,先研究铰链
4、C再AB杆,2、画受力图,3、选投影轴，列平衡方程及求解,研究C点：,研究B点：,解：,2、作受力图,3、选投影轴，列方程求解,例34、已知：正方体上作用两个力偶:（F1,F1）,（F2,F2）,CDAE,不计正方体及直杆重量。求正方体平衡时F1和F2之间的关系和两根杆受力。,解得,1、选研究对象,例 已知如图P、Q，求平衡时=？地面对球的约束反力ND=？,解：研究球受力如图，选投影轴列方程为,由得,由得,例3-5、已知：P,a,求：A、B两点的支座反力？,解：,2、画受力图,1、取研究对象,3、选矩心及投影轴，列平衡方程,4、求解,矩心取在尽可能多的未知力的交点上,两未知力交点,解：,2、画
5、受力图,1、取研究对象,3、选矩心及投影轴，列平衡方程,例37、已知：AB杆,AD,CB为绳,A、C 在同一垂线上，AB 重80N，A、B光滑接触，ABC=BCB=600,且AD水平，AC 铅直。求平衡时，绳的拉力 及A、B点的受力。,解：,2、作受力图,3、选投影轴及矩轴列方程求解,先考虑投影方程再考虑力矩方程,1、选研究对象,几点讨论：,根据题意选择研究对象。,分析研究对象的受力情况，正确地画出其受力图。,研究对象与其他物体相互连接处的约束，按约束的性质表示约束反力。,正确地运用二力杆的性质和三力平衡定理来确定约束反力的方位。,两物体之间相互作用的力要符合作用与反作用定律。,用解析法求解时
6、，应适当地选取坐标轴。为避免解联立方程，可选坐标轴与未知力垂直。根据计算结果的正负判定假设未知力的指向是否正确。,独立方程数目未知力数目时，是静定问题（可求解）独立方程数目未知力数目时，是超静定问题（静不定问题）,3-3 物体系的平衡静定和超静定问题,一、静定与静不定问题的概念,例,静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移谐调条件来求解。,静定（未知数三个）静不定（未知数四个）,图示结构中哪个为静不定结构？,静定,静不定,静不定,例,二、物体系统的平衡问题,外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。,物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的
7、系统叫。,物系一般处于静止状态,设物系中有n个物体，如果每个物体都受平面任意力系作用，则每个物体可列3个平衡方程，整个系统可列 3n个方程。,物系平衡 系统中每个物体平衡以及其中某几个物体 组成的新系统都是平衡的；,物体系统平衡的特点：,若系统中有的物体受平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系或共线力系，则系统的平衡方程的数目相应减少。,解物系问题的一般方法：,先求局部再求整体时，一般先选取受主动力作用、受力尽可能少的局部！,注意：,例38、已知:F=20kN,q=10kN/m,M=20kN.m,l=1m;,求：A,B处的约束力。,解：,1、取研究对象,先研究CD杆，再研究AC、CD杆组成的系
8、统,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究CD杆：,解得：,研究AC、CD杆组成的系统,解得：,例39:已知：图示梁，求：A、B、C处约束力。,解：,1、取研究对象,先研究CB杆，再研究整体（或AC杆）,2、画受力图,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,研究CB杆：,研究整体：,解得：,解得：,例310、已知：OA=R,AB=l,当OA水平时，冲压力为P时，求：1、M；2、O点的约束反力；3、AB杆的受力；4、冲头给导轨的侧压力。,解：,1、取研究对象,先研究冲头，再研究整体（或轮）,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究冲头：,解得：,研究整体：,解得：
9、,例311、已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。求AC 杆的受力和B点的反力？,解：,1、取研究对象,先研究整体，再研究CD杆,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究整体：,解得：,研究CD杆：,解得：,例312、已知：连续梁上，P=10kN,Q=50kN,CE 铅垂,不计梁重。求：A,B和D点的反力。,解：,1、取研究对象,先研究小车，再研究CD杆，最后研究整体,3、选矩心及投影轴，列平衡方程及求解,2、画受力图,研究小车,解得：,研究CD,解得：,研究整体：,解得：,3-4 考虑摩擦时的物体平衡问题,考虑摩擦时的平衡问题，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述大致相同，但有如下的几个特点：1分析物体受力时，必须考虑接触面切向的摩擦力Fs。2列补充方程，即。3由于物体平衡时摩擦力有一定的范围，即。,例1 已知：a=30，G=100N，f=0.2。求：物体静止时，水平力Q的平衡范围；当水平力Q=60N时，物体能否平衡？,解：先求使物体不致于上滑的 图(1),同理：再求使物体不致下滑的 图(2),解得：,平衡范围应是,例314、梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦系数 f=0.5,求a 多大时，梯子能处于平衡？,解：,2、画受力图,1、取研究对象,3、选矩心及投影轴，列平衡方程,谢 谢！,
