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1、信号与线性系统,第 7 讲教材位置:第3章 傅立叶变换的性质 3.8内容概要:介绍傅立叶变换的性质、傅立叶变换的计算,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,2,开讲前言前讲回顾,常用函数的傅立叶变换指数函数可收敛的阶跃函数、冲击函数、符号函数傅立叶变换积分的技巧变换更换、分项对比周期函数的傅立叶变换指数函数、三角函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换及其频谱离散性信号能量的频域表示功率谱和能量谱信号的有效带宽、波形的有效脉宽,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,3,开讲前言本讲导入,已有傅立叶变换的知识信号的正交分解周期信号的傅立叶级数与频谱非周期信号频谱的连续与傅立叶变换的引入频谱密度函
2、数周期信号的傅立叶变换常用信号的傅立叶变换傅立叶变换在信号能量频域分析的作用为了更好的利用傅立叶变换进行信号分析需要进行傅立叶变换性质的分析，以从数学的角度提高计算傅立叶变换的能力,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,4,3.8傅立叶变换的性质,1、线性性,其中 a、b 均为常数。,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,5,3.8傅立叶变换的性质,2、时延性,F f(t-t0)=,证:根据FT的定义，有,同理 F f(t+t0)=F(j),2023/9/5,信号与线性系统第7讲,6,3.8傅立叶变换的性质举例,例：求矩形脉冲的频谱函数。解：门函数的频谱函数为,由时延性可得,显然,|F1(
3、j)|=|F2(j)|,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,7,3.8傅立叶变换的性质举例,课堂练习对图示波形进行傅立叶变换答案,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,8,3.8傅立叶变换的性质,3、频移性,证明：根据傅里叶的定义有,若 f(t)F(j),频谱F(j)搬移jc,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,9,3.8傅立叶变换的性质,即 f(t)cos ct F(j+jc)+F(j-jc)/2同理：F f(t)sinct=F(j jc)-F(j-jc)/2 j,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,10,3.8傅立叶变换的性质,求矩形调幅信号G(t)cosct的频谱函数.解:
4、门函数的频谱为,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,11,3.8傅立叶变换的性质,矩形调幅信号的频谱 图,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,12,3.8傅立叶变换的性质,4、比例性（尺度变换特性）时域中函数尺度变化f(t)=sint 在 0 t 2 间有一个完整的正弦波。f(t)沿t 轴压缩三倍，新函数应记为f(3t)=sin3t.f(t)沿t 轴扩展两倍，新函数应记为f(t/2)=sin(t/2).,结论：代表信号的函数 f(t)沿时间轴压缩或扩展而成的新函数，当 a 是大于1的正实数时，表示信号压缩了a 倍,当 a 是小于1 的正实数时，表示信号扩展了1/a 倍,2023/9/5
5、,信号与线性系统第7讲,13,3.8傅立叶变换的性质,傅里叶变换的尺度变化关系表达式证明：傅里叶变换表达式：令 x=at,则 t=x/a,dt=1/a da 若 a 0，当 t=，x=,t=-,x=-若 a 0,当 t=，x=-,t=-,x=综合两种情况，便可求证特别对于 a=-1 f(-t)F(-j)结论信号在时域中的时间函数压缩（扩展）a 倍，它在频域中的频谱函数要扩展（压缩）a 倍。对于a=-1的情况，时域中沿纵轴反褶等效频域中沿纵轴反褶。,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,14,3.8傅立叶变换的性质,尺度变化图解,(a)a=0.5,(b)a=1,(c)a=2,2023/9/5,
6、信号与线性系统第7讲,15,3.8傅立叶变换的性质,等效脉宽和等效频宽对任意形状的f（t）和F(j)，有傅里叶变换若令、Bs 分别为f（t）和F(j)等效宽度，根据等效脉冲宽度和等效频带宽度的定义，可以推导等效脉冲宽度和等效频带宽度之积为常数,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,16,3.8傅立叶变换的性质,5、奇偶性,e-jt=cos t-jsin t,频谱函数的实部与模量是频率 的偶函数，虚部与相位是频率 的奇函数。如果 f(t)是 t 的偶函数，则频谱函数只有实部，,如果 f(t)是 t 的奇函数，则频谱函数只有虚部，,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,17,3.8傅立叶变换的
7、性质举例,课堂练习已知利用奇偶性质计算 傅立叶变换【解答】函数x(t)实的偶函数,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,18,3.8傅立叶变换的性质,6、微分性时域微分证明：,傅里叶反变换的原函数,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,19,3.8傅立叶变换的性质,频域微分,则,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,20,3.8傅立叶变换的性质,7、积分性时域积分特性证明：,如果F(o)=0，或将=0 点除去不计,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,21,3.8傅立叶变换的性质,频域积分特性,则,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,22,3.8傅立叶变换的性质举例,课堂练习已知冲
8、击函数的傅立叶变换，利用积分性质求阶跃函数的傅立叶变换？已知阶跃函数的傅立叶变换，利用微分性质求冲击函数的傅立叶变换？,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,23,3.8傅立叶变换的性质举例,利用微分、积分性质，求图示波形的傅立叶变换【解答】,实函数奇函数,纯虚函数奇函数,3.8傅立叶变换的性质举例,利用积分性质的注意事项函数求导后丢失的直流分量,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,25,3.8傅立叶变换的性质,8、卷积性时域卷积证明,若,令 a=t-，da=dt,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,26,3.8傅立叶变换的性质,频域卷积,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,27
9、,3.8傅立叶变换的性质,9、对称性 f(t)F(j 则 F(jt)2 f(-)证明,上式右边，将变量用 一个虚设变量x代替，可得：相应用替代 t 有将变量 x 用 t 代替，则得,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,28,3.8傅立叶变换的性质,如果 f(t)是 t 的偶函数,其频谱函数只有实部R（），且为偶函数，此时 2 f(-)=2 f()=F F(jt)=F R(t)由此可知:偶函数f(t)有频谱函数R(，则与R(形式相同的时间函数R(t的频谱函数为2 f()。,偶函数时域和频域的对称性,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,29,3.8傅立叶变换的性质,则根据偶函数的对称性，它的傅里叶变换为,2,0,|,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,30,3.8傅立叶变换的性质举例,课堂练习利用对偶性质求函数的傅立叶变换【解答】某信号x(t)有傅立叶变换X(t)的函数形式根据性质有：,2023/9/5,信号与线性系统第7讲,31,本讲小结,傅里叶变换的性质线性性时延性频移性比例性奇偶性对称性微分性质积分性质卷积性质,信号与线性系统,第 7 次课外作业教材习题:3.15、3.17、3.21,
