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1、第四章 积分变换法,4.1 傅立叶变换的概念和性质4.2 傅立叶变换的应用4.3 拉普拉斯变换的概念和性质4.4 拉普拉斯变换的应用,定义：假设 I 是数集(实数或者复数)，K(s,x)为 上的函数,这里 a,b为任意区间。如果 f(x)在区间 a,b 有定义,且 K(s,x)f(x)为 a,b 上可积函数,则含参变量积分,定义了一个从 f(x)到 F(s)的变换,称为积分变换,K(s,x)为变换的核。,常见的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。,4.1 傅立叶变换的概念和性质,傅立叶变换,记作：,假设 f(x)在 上有定义，在 上绝对可积，在任一有限区间上有有限个极大值、极小值，且至多有有限
2、个第一类不连续点，则函数,称为f(t)的傅立叶变换。,4.1 傅立叶变换的概念和性质,傅立叶逆变换定义为：,记作：,当 f(x)满足上述条件时，有,傅立叶积分定理：,t是连续点t是第一类间断点,特别的，当 f(x)连续时,4.1 傅立叶变换的概念和性质,傅立叶变换具有如下性质:,1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数，为数,2)微分运算性质,4.1 傅立叶变换的概念和性质,3)对傅立叶变换后的函数求导数,4)卷积性质,设 f(x)，g(x)在 上绝对可积,定义卷积：,4.1 傅立叶变换的概念和性质,5)乘积运算,傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。,6)平移性质,4.1 傅
3、立叶变换的概念和性质,思考：对于u(x,y),若以 y 为参数,对 x 作傅立叶变换,由傅立叶变换的线性性质,同理,4.1 傅立叶变换的概念和性质,4.2 傅立叶变换的应用,例 用积分变换法解方程：,解：由自变量的取值范围，对 x 进行傅立叶变换，设,那么方程转变为,4.2 傅立叶变换的应用,解得,为了求出原方程的解,下面对 关于 进行 傅立叶逆变换.,t是参数,！,4.2 傅立叶变换的应用,例 用积分变换法解方程：,解：作关于 的傅立叶变换。设,方程变为,4.2 傅立叶变换的应用,可解得,而,则,上式两边关于x作逆傅立叶变换，得,4.2 傅立叶变换的应用,4.2 傅立叶变换的应用,例 用积分
4、变换法求解初值问题：,解：作关于 x 的傅立叶变换。设,t是参数,4.2 傅立叶变换的应用,于是原方程变为,满足初始条件,4.2 傅立叶变换的应用,的通解为,由初始条件,是参数,解常微分方程：,4.2 傅立叶变换的应用,取傅立叶逆变换，得,其中：,注意到,而,4.2 傅立叶变换的应用,所以 取傅立叶逆变换，得,t是参数,4.2 傅立叶变换的应用,所以 取傅立叶逆变换，得,t是参数,4.2 傅立叶变换的应用,4.3 拉普拉斯变换的 概念和性质,拉普拉斯变换,傅立叶变换要求函数 f 在 有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间 t 为自变量的函数在区间 也
5、无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入拉普拉斯(Laplace)变换。,拉普拉斯变换的积分核为,（单边）拉普拉斯变换：,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,基本性质：,1)基本变换:,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,2)线性性质,3)微分性质,若 则,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,4)积分性质,6)位移性质,7)延迟性质,5)对拉普拉斯变换求导,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,8)卷积性质,应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如 P38),也适用于偏微分方程。,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,例 解常微分方程的初值问题:,解：对 t 进行拉普
6、拉斯变换,设,则原方程变为,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,对 p 进行拉普拉斯逆变换,考虑到,有,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,例 设，求解常微分方程的初值问题:,解 对 进行拉普拉斯变换,设,则,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,于是原方程变为,由上式得:,对 进行拉普拉斯逆变换,得,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,拉普拉斯变换的反演公式：,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,利用留数基本定理，可得,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,4.3 拉普拉斯变换的概念和性质,4.4 拉普拉斯变换的应用,例：设 x0,y0,求解定解问题,解：对 y 进行拉普拉
7、斯变换。设,则方程变为：,4.4 拉普拉斯变换的应用,而 变为,解ODE:,对 p 取拉普拉斯逆变换，得,4.4 拉普拉斯变换的应用,解 问题归结为求解下列定解问题:,例 一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0，求杆上温度分布规律。,对 t 进行拉普拉斯变换,怎么变换？,为什么？,知道 的值了,4.4 拉普拉斯变换的应用,分析 由于，故不能用傅立叶变换，而要用拉普拉斯变换。如果对 进行拉普拉斯变换，由于方程中出现了,在变换中需要知道 以及 的值；如果对 进行拉普拉普拉斯变换，由于方程中出现了，在变换中需要知道。因此，我们对 进行拉普拉斯变换。,4.4 拉普拉斯变换的应用,对 t
8、进行拉普拉斯变换，设,于是方程变为,这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为,二阶方程，但是仅有一个边界条件！需要引入自然边界条件.,4.1 傅立叶变换的概念和性质,4.4 拉普拉斯变换的应用,考虑到具体问题的物理意义：u(x,t)表示温度，,从而 D=0.,再由边值条件 可知，C=F(p).,为求出 u(x,t),在上式中对 p 进行拉普拉斯逆变换,4.4 拉普拉斯变换的应用,由拉普拉斯变换表知，,4.4 拉普拉斯变换的应用,4.4 拉普拉斯变换的应用,积分变换法求解定解问题的原则和步骤：,1)选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是，拉普拉斯变换要求取值范围是,3)注意定解条件的形式。假如对 x 进行拉普拉斯变换，而原方程是关于为 x 的 k 阶方程，则定解条件中必须出现,2）傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积,许多函数不能作傅立叶变换,数学物理方程+定解条件,解,常微分方程+定解条件,解,积分变换,逆变换,选取恰当的积分变换，对某个（某些）自变量作积分变换，得到象函数含参变量的常微分方程；2）对部分定解条件取相应的积分变换,导出象函数方程的定解条件；3）解关于象函数的定解问题,求出象函数；4）将象函数取积分逆变换，即得原定解问题的解。,
