分类计数原理与分布计数原理(叶小兵).ppt

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1、选修2-3 排列、组合和概率,问题一:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.一天中,火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,1.1分类计数原理与分步计算原理,1.1分类计数原理与分步计算原理,:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法.,对于分类计数原理,注意以下几点.,(1)从分类计数原理中可以看出,各类之间相互独立,都能完成这件事,且各类方法数相加,所以分类计数原理又称加法原理;(2)分类时,首先要根据问题的

2、特点确定一个分类的标准,然后在确定的分类标准下进行分类;(3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.,1.1分类计数原理与分步计算原理,问题二:从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,1.1分类计数原理与分步计算原理,分步计数原理,完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法.,1.1分类计数原理与分步计算原理,对于分步计数原理,应

3、注意以下几点.,(1)分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤完成了,这件事才算完成;分步计数原理又叫乘法原理。(2)分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;(3)分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成n个步骤后这件事才算完成.,1.1分类计数原理与分步计算原理,从实际问题中如何判断该用哪个定理?,例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书 1)从中任取一本,有多少种不同的取法?2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少不同的取法?,自主思考:,完成表格,归纳结论,表一:,书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书 1)从中任取一本

4、,有多少种不同的取法?,自主思考:,完成表格,归纳结论,表二:,书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?,例题讲解,例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5本不同的语文书 1)从中任取一本,有多少种不同的取法?解:(1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从6本书中任取一本,有6种方法 第二类办法是从下层取语文书,可以从5本书中任取一本,有5种方法 根据加法原理,得到不同的取法的种数是 6十5=11 答:从书架L任取一本书,有11种不同的取法,例题讲解,例1 书架上层放有6本不同的数学书,下层放有5

5、本不同的语文书 2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法?解(2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书,有6种方法;第二步取一本语文书,有5种方法 根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 N6X530 答:从书架上取数学书与语文书各一本,有30种不同的方法,分类加法与分步乘法计数原理的区别和联系:,例2电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多种不同的结果?,怎样联合两个定理解决问题?,解

6、:分两大类:(1)幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有:302920=17400种结果;(2)幸运之星在乙箱中抽,同理有201930=11400种结果,因此共有不同结果17400+11400=28800种,大家在综合运用两个原理时,既要会合理分类,又能合理分步,一般情形是先分类后分步.,怎样联合两个定理解决问题?,自主思考,(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字允许重复三位数?解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从5个数字中任选一个数字,共有5种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复,这仍有5种选法,第三步确定个位上的数

7、字,同理,它也有5种选法 根据乘法原理,得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125 答:可以组成125个三位数,练习:(1)由数字l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?(2)由数字0,l,2,3,4,5可以组成多少个数字不允许重复三位数?,(3):如图,要给下面A、B、C、D四个区域分别涂上5种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?,N=5 4 34=240,注意:分步乘法计数关键要算好每一步的方法数,4张卡片的正、反面分别有0与1,2与3,4与5,6与7,将其中3张卡片排放在一起,可组成多少个不同的三位数?,

8、解:分三个步骤:第一步:首位可放81=7个数;第二步:十位可放6个数;第三步:个位可放4个数.根据分步计数原理,可以组成N=764=168个数.,hezuotanjiu,四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己送出的贺卡,共有多少种不同的方法?,我们可排出所有的分配方案:(1)甲取得乙卡,然后类推,按甲、乙、丙、丁各取得的贺卡列出方案如下:乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙;(2)甲取得丙卡,方案为:丙甲丁乙,丙丁甲乙,丙丁乙甲;(3)甲取得丁卡,方案为:丁甲乙丙,丁丙甲乙,丁丙乙甲.由分类计数原理,共有3+3+3=9种.另外,此题也可分步解决:第一步:甲取一张,有3种取法;第二步:由甲取出

9、的那张贺卡的供卡人取,也有3种取法;第三步:由剩余两人中任一人取,有一种取法;第四步:最后一人取,只有一种取法.由分步计数原理得不同取法有3311=9种.,知识,方法,思想,分类加法计数原理分步乘法计数原理,归纳与类比分类法、分步法,特殊到一般 化归转化,小结升华,感 悟 计数原理入门径,何时相加何时乘?分类相加无重漏,分步相乘步骤整.,要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法,其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习,在计算完成事件的方法种数时,何时用加法原理?何时用乘法原理?这两个原理分别是怎样叙述的?它们的根本区别是什么?(口答)一件工作可以用两种方法

10、完成有 5人会用第一种方法完成,另有4人会用第二种方法完成选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法?在读书活动中,一个学生要从 2本科技书、2本政治书、3本文艺书里任选一本,共有多少种不同的选法?从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通从甲地到丙地共有多少种不同的走法?一个口袋内装有5个小球,另一个口袋内装有4个小球,所有这些小球的颜色互不相同(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法?,课堂小结,练习题:,1。有两个口袋,分别装有5个小球和4个小球,所有这些小球的颜色互不

11、相 同,(1)从两口袋中任取一个,有多少种不同的取法。(2)从两口袋中各取一个,有多少种不同的取法。2。从3名男生和2名女生中选出优秀学生3人,要求其中至少有1名女生,那 么有多少中不同的选法?3。有大小两个正方体,在它们的6个表面上分别标有1,2,3,4,5,6。将 两个正方体掷在桌面上,向上一面的两个数的和为偶数的情形有多少种?4。三面不同颜色的旗帜,可以升一面、两面,页可以三面一起升,那么可 以表示多少种不同的信号?5。平面上有10个点,无三点共线,每三点连一个三角形,可以画出多少个三角形?6。从1到100的自然数中,每次取出两个,要它们的和大于100,有多少种不同的取法?7。从8男5女中选4人参加比赛,其中至少要有两名女生,有多少中选法?8。从9名学生中选三名参赛,有多少中选法?9。完全相同的7个球,放入三个同样的盒子,允许有的盒子空,有多少种不 同的放法?,

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