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1、解析几何总复习,第一章 向量代数,第二章 空间解析几何,第三章 坐标变换与二次曲线分类,第四章 正交变换与仿射变换,第五章 考试题型,向量代数,1.向量的各种运算,加法、数乘、内积、外积、混合积,重点掌握:,(1)各种向量运算的法则及其坐标运算.,=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3),=(c1,c2,c3),R,设在某直角坐标系I:O;e1,e2,e3中,解析几何总复习,+=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)一个向量,=a1b1+a2b2+a3b3 一个数,=(a1,a2,a3)一个向量,一个向量,解析几何总复习,一个数,(2)向量的夹角,()=()()一个向量,解析几何总复习,
2、(3)外积、混合积的几何意义.,外积的长度|,-以,为邻边的平行四边形的面积,混合积的绝对值|(,)|,-以,为同一顶点三条棱的平行六面体体积,2.向量或点的共线、共面问题,(1)与 共线=0.,(2),共面(,)=0.,解析几何总复习,空间解析几何,1.求平面方程,(1)平面的点向式方程,已知一点M0(x0,y0,z0),方向向量 v1(X1,Y1,Z1),v2(X2,Y2,Z2)不共线,则过M0且平行于 v1,v2的平面方程为,其中 M 为平面上任一点.,解析几何总复习,(2)平面的一般方程,(3)直角坐标系中平面的点法式方程,Ax+By+Cz+D=0,其中,注意:标准方程与一般方程之间的
3、互化.,已知一点 M0(x0,y0,z0),平面的法向量 n(A,B,C),则平面方程为,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)+D=0,解析几何总复习,2.求空间直线方程,(1)直线的标准方程,已知一点 M0(x0,y0,z0),一个方向向量v(X,Y,Z),则直线方程为,(2)直线的参数方程,解析几何总复习,(3)直线的一般方程,注意:标准方程与一般方程之间的互化.,3.求夹角,(1)直线与直线,(2)直线与平面,(3)平面与平面,归结为两向量的夹角,解析几何总复习,4.求距离,(1)点到直线,(2)点到平面,(3)两异面直线,解析几何总复习,5.判断位置关系,(1)两直线(平行、
4、相交、重合、异面),(2)两平面(平行、相交、重合),(3)直线与平面(属于、平行、相交),6.求旋转面、柱面、锥面方程,(1)旋转面,设旋转面S 轴线 l 过点M0,平行于向量u0;母线,则 M(x,y)S,解析几何总复习,圆柱面,定义:由直线绕与它平行的轴线旋转所得的旋转 面称为圆柱面.母线与轴线的距离称为它的半径.,方法1:轴线过点 M0,平行于向量 u,半径为 r,点 M 在圆柱面上,方程的建立:,方法2:轴线过M0,平行于向量u,M1在圆柱面上,点 M 在圆柱面上,解析几何总复习,圆锥面,定义:由直线绕与它相交而不垂直的轴线旋转所得的旋转面称为圆锥面.母线与轴线的交点称为锥顶,夹角称
5、为半顶角.,方程的建立:,方法1:锥顶为M0,半顶角为,点 M 在圆锥面上,方法2:锥顶为M0,M1在圆柱面上,点 M 在圆锥面上,解析几何总复习,(2)柱面,设柱面S/u(k,m,n),准线:,则点 M(x,y,z)S 存在实数 t,使得,从其中一式解出 t 代入另一式,即得 S 一般方程.,定理:若一个柱面的母线平行于z 轴(或 x 轴,或 y 轴),则它的方程中不含 z(或x,或y);反之,一个 三元方程若不含z(或x,或y),则它一定表示一个母线平行于z 轴(或 x 轴,或 y 轴)的柱面.,解析几何总复习,(3)锥面,定理:x,y,z 的 n 次齐次方程的图像(添上原点)一定是锥顶为
6、原点的锥面.在以锥面顶点为原点的直角坐标系中,锥面方程必是关于 x,y,z 的齐次方程.,设锥面S锥顶M0(x0,y0,z0),准线:,则M(x,y,z)(不是锥顶)在锥面上存在实数t,使,从其中一式解出 t 代入另一式,即得 S 的方程.,解析几何总复习,(一)椭球面,1 椭球面:,2 点:,(二)双曲面,3 单叶双曲面:,(1)非空二次曲面的类型,4 双叶双曲面:,7.二次曲面,解析几何总复习,(三)抛物面,5 椭圆抛物面:,6 双曲抛物面:,(四)二次锥面,7 二次锥面:,(五)二次柱面,8 椭圆柱面:,解析几何总复习,9 一条直线:,10 双曲柱面:,11 一对相交平面:,12 抛物柱
7、面:,14 一张平面:,13 一对平行平面:,解析几何总复习,(2)五类二次曲线的图形特征(平行截线的变化规律;范围;对称性;图像),1 椭球面,2 单叶双曲面,3 双叶双曲面,4 椭圆抛物面,5 双曲抛物面,解析几何总复习,类型,所有二次柱面 所有二次锥面 单叶双曲面 双曲抛物面,特点,二次柱面:所有直母线都平行于一个固定向量.,二次锥面:所有直母线都过同一个点.,(3)直纹二次曲面,解析几何总复习,双曲抛物面:恰有两族直母线,c R,同族的直母线都平行于同一张平面;,异族的直母线一定相交.,有如下特征性质:,方向向量分别为:uc(a,b,c),uc(a,b,c),同族的两条不同直母线一定异
8、面;,解析几何总复习,单叶双曲面:恰有两族直母线,其中 s,t 不全为零.,解析几何总复习,同族的任何三条不同的直母线都不平行于同一张平面;,异族的直母线一定共面.,有如下特征性质:,方向向量可分别取为:,同族的两条不同直母线一定异面;,解析几何总复习,坐标变换与二次曲线的分类,1.坐标变换公式,(1)仿射坐标变换公式、过渡矩阵的性质,(2)直角坐标变换公式、正交矩阵的特点,2.二次曲线的分类,(1)利用移轴和转轴求二次曲线标准方程,(2)利用不变量判断二次曲线类型,解析几何总复习,3.计算二次曲线的仿射特征、度量特征,(1)中心型二次曲线的中心,(2)渐近线,(3)直径与共轭直径,(4)圆锥
9、曲线的切线,(5)圆锥曲线的对称轴、顶点,(6)根据圆锥曲线的仿射、度量特征画简图,解析几何总复习,保距变换与仿射变换,1.仿射变换,(1)概念与性质,(2)仿射变换基本定理,(3)仿射变换的变换公式、变换矩阵,(4)仿射变换的不动点与特征向量,2.保距变换,(1)概念与特点,(2)保距变换基本定理,(3)保距变换的变换公式、变换矩阵,解析几何总复习,3.图形的仿射分类与度量分类,(1)仿射等价与度量等价,(2)仿射概念、仿射性质和度量概念、度量性质,(3)利用图形的仿射分类解决某些几何问题,注意几个常见的仿射等价类:全体三角形;全体平行四边形;每一类二次曲线.,解析几何总复习,1.考试题型,(1)填空题,(3)选择题,(4)计算题,解析几何总复习,考试题型及重点例题,(2)判断题,(5)证明题,2.重点例题,P70.例2.9,P168.例3.5,P172.例3.6,P152.例3.4,P198.例4.2,P214.例4.4,解析几何总复习,谢 谢！,
