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1、1,复变函数,主讲人:胡 晓 晓(674067)办公室:7 B325,2,复数是16世纪人们在解代数方程时引入的,1954年，意大利数学物理学家,在所著重要的艺术一书中列出,将10分成两部分，使其积为40的问题,即求方程x(10-x)=40的根,它求出形式的根为,因而复数在历史上长期不能为人民所接受“虚数”这一名词就恰好反映了这一点,3,直到十八世纪,等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复数,复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的,三人的工作进行的,4,到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自
2、然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用,5,柯西 复变函数论的奠基人之一,柯西（Cauchy，1789-1857），十九世纪前半世 纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理 以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。A.-L.柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理。用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点。柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。18世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没 有给出明确的定义。柯西
3、首先阐明了有关概念，并且用这 种积分来研究多种多样的问题。,6,黎曼 复变函数论的奠基人之一,黎曼，19世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼1826年9月17日生于汉诺威的布列斯伦茨，1866年7月20日卒于意大利的塞那斯加，终年40岁。1851年，在高斯的指导下完成题为单复变函数的一般理论的基础的博士论文。在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。,7,魏尔斯特拉斯复变函数论的奠基人之一,魏尔斯特拉斯，
4、KWT(Weierstrass，Karl WilhelmTheodor)1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林数学在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数 与复n维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数.所确定的隐函数zv=hv(zm+1，zn)(v=1，m)可展开为幂级数的定理 魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，是他于1860年讲课中提出并于1879年发表 的“预备定理”,8,第一节 复数及其代数运算,一、复数的概念,二、复数的代数运算,三、小结与思考,一、复数的概念,二、
5、复数的代数运算,三、小结与思考,一、复数的概念,二、复数的代数运算,9,一、复数的概念,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,10,虚数单位的特性:,11,2.复数:,12,1:两个复数相等?2:Z=0,思考：两个复数能比较大小吗？,说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.,反例,13,二.复数的代数运算,1：定义,14,2：复数运算所满足的运算律,15,3：共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例1,解,16,共轭复数的性质:,以上各式证明略.,17,例2,解,18,练习,解,19,练习,证,20
6、,三、小结与思考,本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算,它是本节课的重点.,21,思考题,复数为什么不能比较大小？,22,思考题答案,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,23,第节 复数的几何表示,一、复平面,1.复数的模和辐角,三、小结与思考,二、复球面,24,一、复平面(z平面),1.复平面的定义,坐标平面上的点；,25,二：复数的模和辐角,显然下列各式成立,1.复数的模(或长度),26,27,28,x,y,0,2.复数的辐角（Argument）,说明,29,2.复数的辐角（Argument）,辐角不确定.,30,x,y,0,辐角主值的定义:,2.复数的辐角（Arg
7、ument）,31,X,y,0,32,练习,是不是永远成立；,33,练习,34,35,例3 求 Arg(-3-4i),36,利用复数的模与辐角,我们给出复数的两个非常重要的表示法,37,1.复数的三角表示法,x,x,y,0,38,2:复数的指数表示法,39,例4 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,40,故三角表示式为,指数表示式为,41,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,证,证毕,42,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,43,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个
8、数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,例如，,44,由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:,45,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,定理二,证,按照商的定义,证毕,46,47,48,49,50,x,y,z,0,51,二：复球面,二.扩充复平面,一.复数的球面表示,52,一.复数的球面表示,除去点N外球面上的点P与复平面上的点Z为一一对应,即复数可用球面上的点来表示.,53,球面上的点N,复平面上没有复数与之对应.怎么做到球面上的点与复平面上的点一一对应,54,我们规定:复平面上无限远离原点的点称为”无穷远点”,它与球面上的点N相对应.(要求无穷远点是唯一),二.扩充复平面,扩充复平面:包含无穷远点在内的复平面；与扩充复平面对应的球面称为：复球面复平面:不包含无穷远点在内的复平面.,本书如无特别说明，只考虑有限复数及复平面,55,：复数,56,三、小结与思考,学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.,注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈,57,作业,
