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1、复变函数论第四章第四章 解析函数的幂级数表示方法 第一节 级数和序列的基本性质 1、复数项级数和复数序列： 复数序列就是： z1=a1+ib1,z2=a2+ib2,.,zn=an+ibn,.在这里，zn是复数，Rezn=an,Imzn=bn,一般简单记为zn。按照|zn|是有界或无界序列，我们也称zn为有界或无界序列。 设z0是一个复常数。如果任给e0，可以找到一个正数N，使得当nN时 |zn-z0|N时，n在这个邻域内。 注3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。 定义4.1复数项级数就是 z1+z2+.+z
2、n+. z或记为zn，或zn，其中zn是复数。定义其部分和序列为： n=1+sn=z1+z2+.+zn 如果序列sn收敛，那么我们说级数zn收敛；如果sn的极限是s，那么说zn的和是s，或者说zn收敛于s，记作 zn=1+n=s， 如果序列sn发散，那么我们说级数zn发散。 注1、对于一个复数序列zn，我们可以作一个复数项级数如下 z1+(z2-z1)+(z3-z2)+.+(zn-zn-1)+. 则序列zn的敛散性和此级数的敛散性相同。 注2级数zn收敛于s的e-N定义可以叙述为：e0,$N0,使得当nN时,有 |zk-s|0，可以找到一个正整数N，使得当nN，p=1,2,3,|zn+1+zn
3、+2+.+zn+p|0，可以找到一个正整数N，使得当m及nN， 对于复数项级数zn，我们也引入绝对收敛的概念： 定义4.2如果级数 |z1|+|z2|+.+|zn|+. |zn-zm|e收敛，我们称级数zn绝对收敛。非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛 复级数zn收敛的一个充分条件为级数zn收敛 注1、级数zn绝对收敛必要与充分条件是：级数an以及bn绝对收敛：事实上，有 |ak=1nk2|及|bk|znk|=ak+bk2k=1k=1k=1nnn|ak|+|bk|,k=1k=1n注2、若级数zn绝对收敛，则zn一定收敛。 例4.1当|a|1时，1+a+a2+.+an+.绝对收敛；并且有 1-an+
4、11+a+a+.+a=,liman+1=0 1-an+2n我们有，当|a|0,$N0,使得当nN时,有 |fk(z)-f(z)|0,$N0,使得当nN时,有 |fn(z)-j(z)|0，可以找到一个只与e有关，而与z无关的正整数N=N(e)，使得当nN,zE时，有 |fk(z)-f(z)|e. k=1n或 |fn(z)-j(z)|0，可以找到一个只与e有关，而与z无关的正整数N=N(e)，使得当nN,zE，p=1,2,3,时，有 |fn+1(z)+fn+2(z)+.+fn+p(z)|0，可以找到一个只与e有关，而与z无关的正整数N=N(e)，使得当m,nN,zE时，有 |fn(z)-fm(z)
5、|e.注2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法(优级数准则)：设fn(z)(n=1,2,.)在复平面点集E上有定义，并且设 a1+a2+.+an+.|fn(z)|an (n=1,2,.), 是一个收敛的正项级数。设在E上， 那么级数fn(z)在E上绝对收敛且一致收敛。 这样的正项级数an称为复函数项级数fn(z)的优级数. n=1定理4.6 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设fn(z)(n=1,2,.)在集E上连续，并且级数fn(z)或序列fn(z)在E上一致收敛于f(z)或j(z)，那么f(z)或j(z)在E上连续。 定理4.7 设fn(z)(n=1,2,.)在简单曲线C上连续，并且级数
6、fn(z)或序列fn(z)在C上一致收敛于f(z)或j(z)，那么 n=1+Cfn(z)dz=f(z)dz, C或 Cfn(z)dz=j(z)dz. C注1、在研究复函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列； 注2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。 定义4.5设函数fn(z)(n=1,2,.)在复平面C上的区域D内解析。如果级数fn(z)或序列fn(z)在D内任一有界闭区域上一致收敛于f(z)或j(z)，那么我们说此级数或序列在D中内闭一致收敛于f(z)或j(z)。 定理4.9设函数fn(z)(n=1,2,.)在区域D内解析，并
7、且级数fn(z)或序列fn(z)在D内闭一致收敛于函数f(z)或j(z)，那么f(z)或j(z)在区域D内解析，并且在D内 f(k)(z)=fn(k)(z), n=1+或 j(k)(z)=limfn(k)(z),(k=1,2,3,.). n+证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理， Cf(z)dz=fn(z)dz=0, n=1C+因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。 其次，设U的边界即圆K也在D内，于是 (z-z)n=10+fn(z)k+1， 对于
8、zK一致收敛于f(z)。由定理4.7，我们有 (z-z0)k+1+fn(z)1f(z)1dz=dz, k+1k+1KK2pi(z-z0)(z-z0)n=12pi也就是 f(k)(z)=fn(k)(z),(k=1,2,3,.) n=1+因此，定理中关于级数的部分证明结束。 对于序列，我们也先证明j(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理4.7以及柯西定理， Cf(z)dz=limfn(z)dz=limCz+n+Cfn(z)dz=0, 因为根据莫勒拉定理，可见j(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此j(z)在D内解析。 其次，设U的
9、边界即圆K也在D内，于是 fn(z)， (z-z0)k+1对于zK一致收敛于j(z)(z-z0)k+1。由定理4.7，我们有 fn(z)1j(z)1dz=limdz 2piK(z-z0)k+12piKn+(z-z0)k+1=limfn(z)1dz n+2piK(z-z)k+10也就是 j(k)(z)=limfn(k)(z),(k=1,2,3,.). n+因此，定理中关于序列的部分证明结束。 第二节 幂级数 幂级数：本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数 an=0+n(z-z0)n=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+.+an(z-z0)n+.其中z是复变数，系数an是任何复常数。
10、注1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义； 注2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数； 注3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。 首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理： 定理4.10(阿贝尔定理) 如果幂级数an(z-z0)n在z1(z0)收敛，那么它n=0+在|z-z0|z1-z0|内绝对收敛且内闭一致收敛. 证明：由于幂级数an(z-z0)n在z1(z0)收敛，所以有 n=0+n+liman(z1-z0)n=0， 因此存在着有限常数M，使得|an(z1-z0)n
11、|M (n=0,1,.)。把级数改写成 nz-z0a(z-z)n10z-zn=010+n则有 z-z0|an(z-z0)n|=|an(z1-z0)n|z1-z0nn M其中已令z-z0=k,z1-z0+z-z0=Mkn, z1-z0由于级数Mkn,收敛，所以此幂级数在满足k=0|z-z0|z1-z0|的任何点 z绝对收敛且内闭一致收敛。 推论4.11 若幂级数an(z-z0)n在z2(z0)发散,则它在以z0为心并通n=0+过z2的圆周外部发散. 注1：与幂级数an(z-z0)n相对应，作实系数幂级数 n=0+|an=0+n|xn=|a0|+|a1|x+|a2|x2+.+|an|xn+. 其中
12、x为实数。则有 设|an|xn的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有： n=0+(1)、如果0R+，那么当|z-z0|R时，级数an(z-z0)n发散； n=0+如果R=+，那么级数an(z-z0)n在复平面上每一点绝对收敛； n=0+如果R=0，那么级数an(z-z0)n在复平面上除去z=z0外每一点n=0+发散。 证明： 先考虑0R+的情形。如果|z1-z0|R，那么可以找到一个正实数r1，使它满足|z1-z0|r1R，那么可以找到一个正实数r2，使它满足|z1-z0|r2R。假定级数an(z-z0)在z=z2时收敛，那么级数|an|xn在x=r2时也收nn=0+n=0敛，与所设相矛
13、盾。 如果R=+，则对任何实数x，级数|an|xn都绝对收敛。如果n=0+|z1-z0|=r，由于级数|an|x在x=r时绝对收敛，所以级数an(z-z0)nnn=0n=0+在z-z0=r时绝对收敛，从而它在z=z1时也绝对收敛，由于z1的任意性，那么级数an(z-z0)n在复平面上每一点绝对收敛； n=0+如果R=0，则对任何实数x0，级数|an|xn都发散。若存在一n=0+个复数z1(z0)，使得an(z1-z0)n收敛，则由定理4.10，当|z-z0|z1-z0|n=0+时，an(z-z0)绝对收敛，即|an|z-z0|n收敛，所以存在x0，使得nn=0n=0+|an=0+n|xn收敛，
14、与假设矛盾。 +注1、当0R+时，对于|z-z0|=R，级数an(z-z0)n的敛散性不定。 n=0注2、和数学分析中一样，注解1中的R(0R+)称为此级数的收敛半径；而|z-z0|0，至多有有限个anL+e；有无穷个anL-e，那么说序列an的上极限是L，记作 n+liman=L, 如果任给M0，有无穷个anM，那么说序列an的上极限是+，记作 n+liman=+, 如果任给M0，至多有有限个an-M，那么说序列an的上极限是-，记作 n+liman=-. 注3、设0l+，任取定z，使得|z-z0|0，使得|z-z0|N时 n1l1。又由上极限的定义，存在着N0，(l+2e)|an|l+e,
15、 从而 |an|z-z0|n(l+e)/(l+2e)n 因此级数an(z-z0)n在z=z时绝对收敛。由于z的任意性，得到此级n=0+数在|z-z0|。可以找到e(0,l/2)，使得|z-z0|1。又由上极限的定义，有无穷多个an，满足n|an|l-e，(l-2e)1l1l即满足 |an|z-z0|n(l-e)/(l-2e)n 因此级数an(z-z0)n在z=z时发散，从而此级数在|z-z0|内发散。 n=0+1l例4.2试求下列各幂级数的收敛半径R (1)zn 2n=0nzn(2)2 n=0n解 (1)R=limxcnn+12=lim=1 xcn+1n1(n+1)!=lim=0,故R=+ x
16、1n! (2)l=limxcn+1cn注1、由柯西准则我们可以证明，复数项级数收敛的一个必要条件也是其通项趋近于0 幂级数和的解析性 定理4.13 n 幂级数f(z)=c(4.5)的和函数f(z)在其收敛圆周(z-a)nn=0+k:z-aR(0R+)内解析。 在k内，幂级数f(z)=cn(z-a)n可以逐项求导至任意阶，即 n=0+f(p)(z)=p!cp+(p+1)pL2cp+1(z-a)+L+n(n-1)L(n-p+1)cn(z-a)n-p+L(p=1,2L) (4.6) 且其收敛半径与f(z)=cn(z-a)n收敛半径相同。 n=0+fp(a)2, cp= (p=0,1,Lp!证明 由定
17、理4.10,幂级数an=0+n(z-a)n在其收敛圆k:z-aR(0R+)内内闭一致收敛于f(z),而其各项cn(z-z0)n (n=0,1,2,L)又都在Z平面上解析,故由定理4.9,本定理的(1)(2)部分得证.逐项求p阶导数(p=0,1,2,L),得 fp(a)cp=L, ) (p=1,2p!注意到c0=f(a)=f0(a)即得(4.7) 注(1)本定理还有一条结论:级数(4.5)可沿k内曲线C逐项积分,且其收敛半径与原级数相同. 注(2)所有的幂级数(4.5)至少在中心a是收敛的,但收敛半径等于零的级数没有什么有益的性质,是平凡情景. 第三节 解析函数的泰勒展式 定理4.14、设函数f
18、(z)在区域D内解吸aD圆盘K:|z-a|R含于D那么在K内，f(z)能展开成幂级数 f(z)=f(a)+f(a)f(a)(z-a)+(z-a)2+1!2! (4.8) (n)f(a).+(z-a)n+.n!1f(z)f(n)(a)dz=, (4.9) 其中系数cn=n+1C2pi(z-z)n!证明：设zD。以a为心，在U内作一个圆k，使z属于其内区域。我们有 f(z)=1f(z)dz, C2piz-z由于当zC时，又因为 z-a=q1， z-a1=1+a+a2+.+an+.(|a|1) 1-a所以 1111=z-zz-a-(z-a)z-a1-z-az-a (z-a)n=n+1n=0(z-a)
19、+上式的级数当zC时一致收敛。 把上面的展开式代入积分中，然后利用一致收敛级数的性质，得 f(z)=c0+c1(z-a)+.+cn(z-a)n+. 其中， 1f(z)f(n)(a)cn=dz=,n+1C 2pi(z-z)n!(n=0,1,2,.;0!=1)由于z是k内任意一点，定理的结论成立。 下面证明展式的唯一性 设另有展式f(z)=cn(z-a)n (zk:z-a0 且nn=0f(z)=cn(z-a)n(zk:z-aR) n=0则f(z)在收敛圆周c:z-a=R上至少有一奇点,即不可能有这样的函数f(z)存在,它在z-aR内与f(z)恒等,而在c上处处解析 注(1)纵使幂级数在其收敛圆周上
20、处处收敛,其和函数在收敛圆周上任然至少有一个奇点 例4.3求ez,sinz,cosz在z=0的泰勒展式。 解：由于(ez)=ez，所以(ez)(n)|z=0=1，因此 ez=1+z+121z+.+zn+. 2!n!同理，有 cosz=1-sinz=z-121412nz+z-.+(-1)n-1z+.2!4!(2n)!13151z+z-.+(-1)n-1z2n-1+. 3!5!(2n-1)!由于在复平面上，以某些射线为割线而得的区域内，多值函数-对数函数和一般幂函数可以分解成解析分支，因此在已给区域中任一圆盘内，可以作出这些分支的泰勒展式。 例4.4求ln(1+z)的下列解析分支在z=0的泰勒展式
21、： ln(1+z)=ln|1+z|+iarg(1+z)-parg(1+z)p)解：已给解析分支在z=0的值为0，它在z=0的一阶导数为1，二阶导数为-1，n阶导数为(-1)n(n-1)!,因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是： nz2z3n-1zln(1+z)=z-+-.+(-1)+. 23n其收敛半径1。 例4.5求(1+z)a的下列解析分支在z=0的泰勒展式，ealn(1+z)(ln1=0)。 解：已给解析分支在z=0的值为1，它在z=0的一阶导数为a，二阶导数为a(a-1)，n阶导数为a(a-1).(a-n+1),因此，它在z=0或在|z|1的泰勒展式是： ealn(z+1)=1+a
22、z+z2+.+zn+. 2naa(a-1).(a-n+1)其中，其收敛半径为1。 n=n!aa注:这是二项式定理的推广，对a为整数的情况也 第四节 解析函数零点的孤立性及唯一性定理 定义4.7设函数f(z)在解析区域D内一点a的值为零，那么称a为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式是： f(z)=c1(z-a)+c2(z-a)2+.+cn(z-a)n+. 现在可能有下列两种情形： 如果当n=1,2,3,时，cn=0,那么f(z)在U内恒等于零。 如果c1,c2,.,cn,.不全为零，并且对于正整数m，cm0，而对cn=0，于n1，我们说z0是f(z)的单零点或m阶零点。 如果a是解析函数
23、f(z)的一个m阶零点，那么显然在a的一个邻域D内 f(z)=(z-a)mf(z),f(a)=0, 其中j(z)在U内解析。因此存在一个正数e0，使得当0|z-a|e时，j(z)0。于是f(z)0。换而言之，存在着a的一个邻域，其中a是f(z)的唯一零点。 定理4.18 设函数f(z)在z0解析，并且z0是它的一个零点，那么或者f(z)在z0的一个邻域内恒等于零，或者存在着z0的一个邻域，在其中z0是f(z)的唯一零点。 注解：此性质我们称为解析函数零点的孤立性。 推论4.19 设(1)函数f(z)在邻域k:z-aR内解吸,(2)在k内有f(z)的一列零点zn(zna) 收敛于a,则f(z)在
24、k内恒为零. 注(1)推论4.19中的条件(2)可代换成更强的条件: f(z)在k内某一子区域上恒等于0 解析函数的唯一性： 我们知道，已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值，完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同：已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值，同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。 定理4.20设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设k是D内彼此不同的点(k=1,2,3,)，并且点列zk在D内有极限点。如果f(zk)=g(zk)(k=1,2,3,.)，那么在D内，f(z)=g(z)。 证明：假定定理的结论不成立
25、。即在D内，解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然F(zk)=0(k=1,2,.)。设z0是点列zk在D内有极限点。由于F(z)在0连续，可见F(z0)=0。可是这时找不到0的一个邻域，在其中0是F(z)唯一的零点，与解析函数零点的孤立性矛盾。 例4.6在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函数只能是sinz. 解：设f(z)在复平面解析，并且在实轴上等于sinx，那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于零，由解析函数的唯一性定理，在复平面解析上f(z)-sinz=0，即f(z)=sinz。 例4.7是否存在着在原点解析的函数f(z)，满足下列条件： 111)=0,f=; 2
26、n-12n2n1n、f=. nn+1zzzz、f(其中n=1,2,3,。 11及、由于足这些条件的函数不存在； (2)、我们有f=1n11是在原.由解析函数的唯一性定理，f(z)=1+1/n1+z点解析并满足此条件的唯一的解析函数 定理4.23(最大模原理)设函数f(z)在区域D内解析,则f(z)在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒于常数. 证 如果用M表f(z)在D内的最小上界,则有0M+.假定在D内有一点z0,函数f(z)的模在z0达到它的最大值,即f(z)=M (1)应用平均值定理于以z0为中心,并且连同它的周界一起都全含于区域D内的一个圆z-z0R,就得到 1f(z0)=
27、2p由次推出 2p0f(z0+Reij)dj 1f(z0)2p由于 2p0f(z0+Reij)dj (4.15) f(z0+Reij)M,而f(z0)=M 从不等式(4.15)可以推出,对于任何j(0j2p) f(z0+Reij)=M 事实上对于某一个值j=j0有 f(z0+Reij)M 那么根据f(z)的连续性,不等式f(z0+Reij)M在某个充分小的领域区间j0-ejj0+e内成立.同时在这个区间外,总是 f(z0+Reij)M 在这样的情况下,由(4.15)得 1M=f(z0)2p2p0f(z0+Reij)djM 矛盾,因此我们已经证明了:在以点z0为中心得每一个充分小的圆周少上f(z)=M,换句话说,在z0点的足够小的领域k内(k及其周界全含于D内)有f(z)=M.所以f(z)在k内为一常数,再由唯一性定理,必f(z)在D内为一常数. 推论4.24设 (1)函数f(z)在有界区域D内解析,在闭域D=D+D上连续 (2)f(z)M (ZD), 则除f(z)为常数的情景外f(z)M (ZD) 注1在珂西不等式中的M(x)=maxf(z)现在也可理解成z-a=RM(x)=maxf(z) z-aR注2可由第七章的保域定理来做出最大模原理的几何解释 注3最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模,这是解析函数特有的性质
