控制系统的频域分析与校正.ppt

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1、MATLAB与控制系统仿真实践,控制系统的频域分析与校正,主要内容,原理要点14.1控制系统的频域分析频率特性概述频率特性的不同表示方法MATLAB频域分析的相关函数MATLAB频域分析实例14.2基于频域法的控制系统稳定性能析频域法的稳定性判定和稳定裕度概述,基于频域法的控制系统稳定判定相关MATLAB函数MATLAB频域法稳定性判定实例14.3控制系统的频域法校正14.3.1 频域法超前校正及实例14.3.2 频域法滞后校正及实例频域法超前滞后校正及实例,原理要点,1.频率特性定义 稳定的线性定常系统对正弦输入信号的输出的稳态分量与输入正弦信号的复数比。其中：为系统的幅频特性。为系统的相频

2、特性。,2.频率特性和传递函数的关系：3.频率特性曲线有三种表示形式，即对数坐标图、极坐标图和对数幅相图。对数坐标图即Bode图。由对数幅频特性和对数相频特性曲线2张图组成。对数幅频特性幅度的对数值,与频率的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角与频率的关系曲线。极坐标图即Nyquist曲线。系统的频率特性表示为：频率特性 是输入信号频率 的复变函数，当频率从连续变化时，端点的极坐标轨迹。,对数幅相图即Nichols曲线。是将对数幅频特性和对数相频特性2张图，在角频率 为参变量的情况下合成一张图。即以相位 为横坐标，以 为纵坐标，以 为参变量的一种图示法。,4.Nyquist稳定判据 Nyqu

3、ist稳定性定理内容是：如果开环模型含有m个不稳定极点，则单位负反馈下单变量闭环系统稳定的充要条件是开环系统的Nyquist图逆时针围绕(-1,j0)点m周。,5.系统相对稳定性的判定（稳定裕度）系统的稳定性包括相角稳定裕度和幅值稳定裕度。相角稳定裕度为系统极坐标图上 模值等于1的矢量与负实轴的夹角：,相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统所允许的最大相位滞后。幅值稳定裕度是系统极坐标图上 与负实轴交点（）的模值 倒数：,在对数坐标图上，采用 表示 的分贝值，有,幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统增益所允许的最大增大倍数。,6.闭环系统频率特性 通常，描述闭环系统频率特性的性能

4、指标主要有谐振峰值、谐振频率、带宽和带宽频率。其中：谐振峰值 指系统闭环频率特性幅值的最大值。,谐振频率 指系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。带宽频率 指当系统 的幅频特性下降到 时所对应的频率。系统带宽指频率范围。,7.频域法校正方法主要有超前校正、滞后校正和滞后-超前校正等。利用超前校正装置校正的基本原理即是利用其相位超前的特性，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位滞后。,采用无源滞后网络进行串联校正时，主要是利用其高频幅值衰减特性，以降低系统的开环幅值穿越频率，提高系统的相位裕度。滞后超前的基本原理是利用其超前部分增大系统的相位裕度，同时利用其滞后部分来改善系统的稳态性能。,14.

5、1控制系统的频域分析,频率特性概述频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统的间接方法。它是一种图解分析法，所依据的是频率特性数学模型，对系统性能如稳定性、快速性和准确性进行分析。频域法因弥补了时域法的不足、使用方便、适用范围广且数学模型容易获得而得到了广泛的应用。,频率特性的不同表示方法 频率特性曲线有三种表示形式，即对数坐标图、极坐标图和对数幅相图。1.对数坐标图 对数坐标图即Bode图，由对数幅频特性和对数相频特性曲线2张图组成。,对数幅频特性幅度的对数值 与频率 的关系曲线；对数相频特性是频率特性的相角 与频率 的关系曲线。对数幅频特性的纵轴为,采用线性分度；横坐标为角频率，采用对数分

6、度。对数相频特性的纵轴为，单位为度，采用线性分度；横坐标为角频率，也采用对数分度。横坐标采用对数分度，扩展了其表示的频率范围。,2.极坐标图 极坐标图即Nyquist曲线。系统的频率特性表示为：频率特性 是输入信号频率 的复变函数，当频率从 连续变化时，端点的极坐标轨迹。MATLAB在绘制,Nyquist曲线时频率是从 连续变化的。而在自动控制原理的教材中一般只绘制频率从 部分曲线。可以分析得出，曲线在范围 与 内，是以横轴为镜像的。,3.对数幅相图 对数幅相图即Nichols曲线。是将对数幅频特性和对数相频特性2张图，在角频率 为参变量的情况下合成一张图。即以相位 为横坐标，以 为纵坐标，以

7、 为参变量的一种图示法。,MATLAB频域分析的相关函数表14.1简要给出这些函数用法及功能说明。,表14.1频域分析的相关函数用法及功能说明,MATLAB频域分析实例例1：系统的开环传递函数为绘制系统的Bode图。,s=tf(s);G=1000*(s+1)/(s*(s+2)*(s2+17*s+4000)Transfer function:1000 s+1000-s4+19 s3+4034 s2+8000 s bode(G)grid,图14.1 例1系统Bode图,图14.2例1系统的Bode图(指定频率范围),例2：系统的开环传递函数为 绘制系统的Bode图。,num=5;den=conv(

8、1 2,1 2 1);w=logspace(-2,3,100);%指定频率范围mag,phase,w=bode(num,den,w);magdB=20*log10(mag);%进行幅值的单位转换subplot(2,1,1);semilogx(w,magdB);%绘制对数幅频特性图grid;,title(系统Bode图);xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Gain dB);subplot(2,1,2);semilogx(w,phase);%绘制对数相频特性图grid;xlabel(Frequency(rad/sec);ylabel(Phase deg);,图14.

9、3 例2系统的Bode图,例3：系统的开环传递函数为绘制K取不同值时系统的Bode图。%K分别取10，50,1000k=10 500 1000;for ii=1:3,G(ii)=tf(k(ii),1 10 500);endbode(G(1),r:,G(2),b-,G(3)title(系统K/(s2+10s+500)Bode图,K=10,500,1000,fontsize,16);grid,图14.4 例3K分别取10，50,1000的系统Bode图,例4：单位负反馈系统的开环传递函数为 绘制系统Nyquist曲线。,num=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);Nyqui

10、st(num,den),图14.5 例4系统的Nyquist曲线,对于图14.5，如果想要看清某部分细节，也可通过设置坐标范围进行局部放大，从而得到更清晰的局部图像，如图14.6。num=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);Nyquist(num,den)axis(-2 2-5 5),图14.6 例4局部放大的系统Nyquist曲线,同样，还可通过设置 范围得到局部的Nyquist曲线。如只绘制系统位于 的Nyquist曲线，如图14.7。num=20 20 10;den=conv(1 1 0,1 10);w=0.1:0.1:100;re,im=Nyquist(num,

11、den,w);,plot(re,im)axis(-2 2-5 5);grid;title(系统(20s2+20s+10)/(s2+s)(s+10)Nyquist图(omega0),fontsize,12);,),图14.7 例4系统Nyquist曲线(),例5：对于传递函数 观察增加在原点处的极点后，极坐标图的变化趋势。,%原系统num=3;den=2 1;Nyquist(num,den)axis(-2 4-2 2);grid;,图14.8 例5原系统的极坐标图,%系统增加1个极点num=3;den1=2 1 0;Nyquist(num,den1)axis(-6 0-10 10);,图14.8

12、 例5系统增加一个极点的极坐标图,图14.9 例5系统增加2个极点的极坐标图,%系统增加2个极点num=3;den2=2 1 0 0;Nyquist(num,den2)axis(-6 0-6 6);,例6：系统的开环传递函数为绘制系统的Nichols曲线。,num=100;den=1 8 0;w=logspace(-1,2,100);nichols(num,den,w);ngrid;,图14.10 例6系统的Nichols曲线,num=100;den=1 8 0;w=logspace(-1,2,100);mag,phase=nichols(num,den,w);%返回Nichols曲线参数ma

13、gdB=20*log10(mag);subplot(2,1,1),semilogx(w,magdB);%使用Nichols曲线参数绘制幅频特性title(系统幅频特性曲线);subplot(2,1,2)semilogx(w,phase);%使用Nichols曲线参数绘制相频特性title(系统相频特性曲线);,figure(2);bode(num,den,w)%求取系统Bode图title(系统Bode图);,图14.11 例6由Nichols曲线参数绘制对数坐标图,图14.12 例6直接求取的系统对数坐标图,14.2基于频域法的控制系统稳定性能分析,频域法的稳定性判定和稳定裕度概述 1.Ny

14、quist稳定判据 频域响应的分析方法最早应用就是利用开环系统的Nyquist图来判定闭环系统的稳定性，其理论基础是Nyquist稳定性定理。内容是：如果开环模型含有m个不稳定极点，则单位负反馈下单变量闭环系统稳,定的充要条件是开环系统的Nyquist图逆时针围绕(-1,j0)点m周。关于Nyquist定理可以分下面2种情况做进一步解释：（1）若系统的开环模型 为稳定的，则当且仅当 的Nyquist图不包围(-1,j0)点，闭环系统是稳定的。,如果Nyquist图顺时针包围(-1,j0)点p次，则闭环系统有p个不稳定极点.（2）若系统的开环模型 不稳定，且有p个不稳定极点，则当且仅当 的 Ny

15、quist图逆时针包围(-1,j0)点p次，闭环系统是稳定的。若Nyquist图逆时针包围(-1,j0)点q次，则闭环系统有qp个不稳定极点。,2.对数频率稳定判据 当p=0时，在开环对数幅相特性曲线 的范围内，相频特性曲线 对 线的正穿（由下至上）次数与负穿（由上向下）次数相等，则系统闭环稳定；当时，在开环对数幅相特性曲线 的范围内，若相频特性曲线 对线 的正穿次数与负穿次数之差为p/2，则系统闭环稳定。,3.系统相对稳定性的判定（稳定裕度）系统的稳定性固然重要，但它不是唯一刻画系统性能的准则，因为有的系统即使稳定，使其动态性能表现为很强的振荡，也是没有用途的。因为这样的系统如果出现小的变化

16、就可能使系统不稳定。此时还应该考虑对频率响应裕度的定量分析，使系统具有一定的稳定裕度。,相角稳定裕度 系统极坐标图上 模值等于1的矢量与负 轴的夹角：相角稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统所允许的最大相位滞后。,幅值稳定裕度 系统极坐标图上 与负实轴交点（）的模值 倒数：在对数坐标图上，采用 表示 的分贝值，有,幅值稳定裕度表示了系统在临界稳定状态时，系统增益所允许的最大增大倍数。4.闭环系统频率特性性能指标 通常，描述闭环系统频率特性的性能指标主要有谐振峰值、谐振频率、带宽和带宽频率。其中：,谐振峰值 指系统闭环频率特性幅值的最大值。谐振频率 指系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。

17、带宽频率 指当系统 的幅频特性 下降到 时所对应的频率。系统带宽指频率范围。,基于频域法的控制系统稳定判定相关MATLAB函数 除上节给出的函数可用于绘制频率响应图形并用于判定系统稳定性之外，MATLAB还提供了相关函数直接用于进一步判定系统的稳定程度，见表14.2。,表14.2 基于频域法的控制系统稳定判定相关MATLAB函数,对系统闭环频率特性的求取，MATLAB没有提供相应的函数。我们可以根据其定义，编写如下的程序来求取：,，带宽和带宽频率,MATLAB频域法稳定性判定实例例7：系统开环传递函数为绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。,num=10;den=conv(1 5,1-1);G=t

18、f(num,den);Nyquist(G),图14.13 例7系统的Nyquist曲线,图14.14 例7系统的零极点分布图,例8：系统开环传递函数为绘制其极坐标图，并判定系统稳定性。,num=5;den=conv(1 2,1 2 5);G=tf(num,den);Nyquist(G),图14.15 例8系统的Nyquist曲线 图14.16 例8系统的阶跃响应曲线,例9：分别判定系统 和 的稳定性。如果系统稳定，进一步给出系统相对稳定参数。,num1=5;den1=conv(1 2,1 5 0);G1=tf(num1,den1);margin(G1)figure(2)num2=200;den

19、2=conv(1 2,1 5 0);G2=tf(num2,den2);margin(G2),图14.17 例9系统 的Bode图,图14.18 例9系统 的Bode图,例10：单位负反馈系统的开环传递函数为 绘制闭环系统的Bode图。此外，继续给出闭环频率特性性能指标谐振峰值、谐振频率和系统带宽。,运行结果：resonantPeak=5.2388resonantFreq=0.7906bandwidth=1.2649,图14.21 例10系统bode图,14.3 控制系统的频域法校正,14.3.1 频域法超前校正及基于MATLAB的实例,图14.22 超前校正装置无源网络,图14.22 超前校正

20、装置无源网络,其中T为时间常数,为衰减因子，,。,采用无源超前网络进行串联校正时，整个系统的开环增益要下降,倍，因此需要提高放,器增益加以修正。,s=tf(s);alfa=5;t=2;Gc=(s+1/(alfa*t)/(s+1/t);bode(Gc,alfa*Gc)%超前校正器的Bode图grid;figure;pzmap(Gc),图14.23 超前校正装置Bode图 图14.24 超前校正装置的零极点图,理论证明：超前网络的最大超前频率为，最大超前相位，最大超前相位所对应的幅值为（校正器经增益补偿）。利用超前校正装置校正的基本原理即是利用其相位超前的特性，以补偿原来系统中元件造成的过大的相位

21、滞后。,2.基于Bode图的相位超前校正步骤,为了获得最大的相位超前量，应使得超前网络的最大相位超前发生在校正后系统的幅值穿越频率处，即。根据这一思想，具体设计步骤如下：根据要求的稳态误差指标，确定开环增益K；计算校正前的系统相位裕度。利用已确定的开环增益，绘制校正前的系统Bode图，并求取值。,确定需要对系统增加的相位超前量。其中表示期望的校正后系统的相位裕度。因为增加超前校正装置后，会使幅值穿越频率向右方移动，因而减小相位裕度，所以在计算相位超前量时，应额外加。确定校正器衰减因子。由 得。确定最大超前频率。在原系统幅值为 的频率，即作为校正后系统的幅值穿越频率。确定校正网络的参数T。,由超

22、前网络参数得到校正器，并提高校正器的增益以抵消1/a的衰减。得到经补偿后的校正器。绘制校正后的系统Bode图。验证相位裕度是否满足要求，有必要时重复上述步骤。,3.频域法超前校正实例,例11：已知单位负反馈系统的开环传递函数为。使用MATLAB设计超前校正网络，使系统的稳态速度误差系数，相位裕度不小于。由要求可计算得。则满足稳态速度误差要求的系统开环传递函数为。,运行结果：%校正前的稳定裕度参数gm=Infpm=12.7580%校正后的稳定裕度参数gmc=Infpmc=48.9496,图14.25 校正前原系统Bode图,图14.26 delta=3时校正后系统的Bode图,分析：由结果知，虽

23、然校正后系统性能提高了，但相位裕度仍未达到要求。我们尝试修改delta值，取为，再次运行程序。校正后的系统Bode图如图。此时系统相位裕度为，达到了设计要求。,图14.26 delta=5时校正后系统的Bode图,可以进一步通过时域响应分析查看系统校正效果。在前面程序基础上补充如下程序：figure;step(feedback(G,1),feedback(G*Gc,1),:)gtext(校正前系统);gtext(校正后系统);figure;G2=feedback(G*Gc,1);num2,den2=tfdata(G2,v);t=0:0.01:3;y2=step(num2,den2,0,t);p

24、lot(t,t,t,y2,:);gridtitle(斜坡输入和校正后系统的斜坡响应);,图14.27 校正前后系统阶跃响应曲 图14.28 斜坡输入及校正后系统的斜坡响应,14.3.2 频域法滞后校正及基于MATLAB的实例,滞后校正装置及其特性,图14.29 滞后校正装置的无源网络实现,，其中,，,beta=0.1;t=10;Gc=(1+beta*t*s)/(1+t*s);bode(Gc)grid;figure;pzmap(Gc),图14.30 滞后校正装置的Bode图 图14.31 滞后校正装置的零极点图,滞后校正网络是一个低通滤波器。采用无源滞后网络进行串联校正时，主要是利用其高频幅值衰

25、减特性，以降低系统的开环幅值穿越频率，提高系统的相位裕度。因此，应力求避免最大滞后相位发生在校正后系统开环幅值穿越频率附近。为了达到这个目的，选择滞后网络参数时，通常应使网络的转折频率（幅值穿越频率）,一般取。,2.基于Bode图的相位滞后校正,基于Bode图相位滞后校正的基本原理是利用滞后网络的高频幅值衰减特性，使校正后系统的幅值穿越频率下降，借助于校正前系统在该幅值穿越频率处的相位，使系统获得足够的相位裕度。因此，设计滞后网络时，应力求避免让最大的相位滞后发生在系统幅值穿越频率附近。由于滞后网络的高频衰减特性，减小了系统带宽，降低了系统的响应速度。因此，当系统响应速度要求不高而抑制噪声要求

26、较高时，可考虑采用串联滞后校正。此外，当校正前系统已经具备满意的瞬态性能，仅稳态性能不满足指标要求时，也可采用串联滞后校正以提高系统的稳态精度。,基于Bode图的相位滞后校正设计步骤：根据稳态误差要求，求开环增益K；利用已确定的开环增益，画出校正前的Bode图，确定校正前系统的相位裕度和幅值穿越频率；确定校正后系统的幅值穿越频率，使其相位裕度满足。,为防止由滞后网络造成的相位滞后的不良影响，滞后网络的转折频率必须选择得明显低于校正后系统的幅值穿越频率，一般选择滞后网络的转折频率,这样，滞后网络的相位滞后就发生在低频范围内，从而不会影响到校正后系统的相位裕度。,确定使校正前对数幅频特性曲线在校正

27、后系统的幅值穿越频率 下降到0dB所必须的衰减量，这一衰减量等于，从而可确定。由此可确定另一转折点1/T画出校正后系统的Bode图，检验相位裕度是否满足要求。如不符合要求则重新计算。,3.频域法滞后校正实例,例12：已知反馈系统的开环传递函数为，设计滞后网络，使系统的稳态速度误差系数，相位裕度不小于。由要求，可求得。,图14.32 校正前系统Bode图(不稳定),图14.33 校正后系统Bode图,图14.34 校正前系统的阶跃响应曲线,图14.34 校正后系统的阶跃响应曲线,分析：由结果可知，原系统是不稳定的。经滞后校正后，系统稳定，完全符合设计要求。也可进一步查看校正后系统的单位斜坡响应。

28、G2=feedback(G*Gc,1);num2,den2=tfdata(G2,v);t=0:0.01:10;y2=step(num2,den2,0,t);plot(t,t,t,y2,:);gridtitle(斜坡输入和滞后校正后系统的斜坡响应),图14.35 斜坡输入和滞后校正后系统的斜坡响应,频域法超前滞后校正及基于MATLAB的实例,1.滞后超前校正器校正特性滞后超前校正装置传递函数：，其中：为网络的超前部分，为网络的滞后部分，,以下程序给出滞后超前校正装置的特性曲线，如图14.36：alfa=10;beta=10;t2=1;t1=10;s=tf(s);G=(1+alfa*t2*s)/(

29、1+t2*s)*(1+t1*s)/(1+t1*beta*s);bode(G);grid,图14.36 滞后超前校正装置Bode图,由图可见，滞后超前校正装置既具有滞后校正的作用，也有超前校正的作用，综合了超前校正和滞后校正的优点。,2.滞后超前校正器的Bode图设计步骤,滞后超前的基本原理是利用其超前部分增大系统的相位裕度，同时利用其滞后部分来改善系统的稳态性能。其设计步骤为：根据系统对稳态误差的要求，求系统开环增益K；根据开环增益K，绘制校正前系统的Bode图。计算并检验系统性能指标是否符合要求。如不符合，则进行以下校正工作。滞后校正器参数的确定。,滞后校正部分为，其参数按照滞后校正的要求确

30、立。工程上一般选，（以保证，为校正前系统的幅值穿越频率），。选择校正后系统的期望频率。考虑在该期望频率 处，使得原系统串联滞后校正器后，其综合幅频值衰减到；在该期望剪切频率处，超前校正器提供的相位超前量达到系统期望相位裕度的要求。,超前校正器的参数确定。超前校正部分的传递函数为，。设原系统串联滞后校正器之后的幅值为，则在串联超前校正器后，在经过滞后超前校正的期望幅值穿越频率 处，应满足：可得 又因为，可得 绘制经过滞后超前校正后的系统Bode图，并验证系统性能指标是否满足设计要求。也可进一步绘制闭环系统的阶跃响应曲线，查看时域性能指标。,3.滞后超前校正实例,例13：已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为：试设计系统的滞后-超前校正器，使之满足：（1）在单位斜坡信号作用下，系统的静态速度误差系数；（2）校正后的系统相位裕度为；（3）增益裕度。由题目要求，计算得。,图14.37 原系统Bode图,图14.38 滞后-超前校正后系统的Bode图,图14.39 滞后-超前校正后系统的阶跃响应曲线,分析：系统经滞后超前校正后达到了系统要求。请用户尝试一下，如果单纯用超前校正或滞后校正都无法达到系统要求。,