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1、1,数学思想的价值分析,2,在小学数学的教学中，强调学习数学思想是一个复杂的事情。直到近20世纪最后二三十年人们才初步形成比较清楚的认识，但是”给所有学生提供学习强有力的数学思想的机会”，仍然更多的停留在口头上。新版课标特别强调学习基本数学思想。,3,因为对学生进行基本数学思想的培养，是数学课程改革的基本要求。作为数学课程教学目标“四基”中的要素之一，“数学思想”必须引起人们的高度重视。,4,一、数学思想概念,数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中提炼而上升的数学观点，它在数学认识活动中带有普遍指导意义，是建构数学和用数学解决问题的指导思想。基本数学思想则是体现
2、于基础数学中的具有基础性、应用性和发展性的数学思想，它含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征。,5,数学思想概念理解,第一，就数学知识体系本身而言，数学思想是指在数学知识内容中的最基本的数学概念和规律。学生对数学知识的学习和重构过程，就是数学思想的孕育和发生过程。,6,第二，数学思想就是指数学思想方法和解题策略，是解决数学问题的方法论和指导思想。数学发展中所形成的新概念、新模型和新方法的认识都可以纳入数学思想的范畴。,7,方法与思想,数学方法就是为解决数学问题而采用的手段、步骤或程序和途径，它属于过程性知识；数学思想，则是数学的基本观点，是对数学的概念、原理、方法以及法则的本质认识。数
3、学方法是外显的，而数学思想是内隐的。数学思想是数学方法的概括和提炼，思想比方法有更高的层次；,8,数学方法是数学思想的具体表现，具有模式化与操作化的特征。数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华。因此，我们研究、总结、提炼每一种数学思想时，应清晰划分“基本观点与解题策略”和“基本方法”这两个方面。,9,数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如：抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。,10,例如，分类是一种重要的数学思想。如数的
4、分类，图形的分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质。通过多次反复的思考和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新知识，有助于分析和解决新的数学问题。,11,二、数学思想分类与渊源,21世纪小学数学课程应当包括的重要数学思想(1)小学数学的新领域(2)新技术(3)仍然居于基础地位的传统数学内容。培养这些重要的数学思想所涉及的认知问题 如何设置学习环境，使儿童能够通过提升原有的知识
5、结构，从而建构新的知识结构。如何把课程的开发与实施紧密的联系起来。如何提高教师的素质。,12,在数学发展的漫长的发展过程中，形成了许多重要的数学思想。如：函数与方程，分类讨论、等价变换、数形结合、符号化、极限思想和猜证思想等。,13,但是，根据最基本、最有用，能够起主导作用的思想为原则，有专家提出在小学数学课程与教学中最主要的是以下五种数学思想：“函数与方程、数形结合、化归、分类讨论和猜证结合思想”等。小学数学中一些重要的数学方法都可以归纳、统一在这五种思想之下。,14,数学思想具有明显的导向和统领作用，这是数学思想的基本特征。数学思想是研究和解决数学问题的基本指导思想，是数学思考的策略。其导
6、向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学知识体系的基础，并为解决具体问题提供思考的方向和解答的方法策略。,15,数学思想的生发人们是怎么认识与确定数学思想的？历史的、哲学的:历史回顾和前瞻这两个方面，考察什么是强有力的数学思想;不论是在数学内部，还是外部讨论这个问题，它总与文化和政治分不开;新技术对小学数学教学的影响日益突出，我们还应当讨论技术对儿童学习数学思想的影响。,16,拓宽小学数学的教学目标把社会需要的，关于数与数学的常识，都包括进来。一些与新的领域（如代数思想、数据处理、概率）有关的数学思想，便受到越来越多的关注传统领域的关注点也发生了转移，例如对于“数”，新的重点转而强调
7、数感、心算、估算等有效的使用计算技术。,17,关于数学思想的最重要的变化是:对数学化(过程)的重视。标准特别强调了以下四个过程标准：(1)问题解决；(2)交流；(3)推理；(4)联系。小学数学教育目标:社会与实用的需要仍然重要.数学被看作是：动态的，而不是静态的；建构的，而不是规定的。鼓励儿童参与数学问题解决；与其他学生合作；依靠自己的概念思考，而不是依靠其他人的标准程序。,18,过程性目标包括：问题解决问题的提出；建立模型；探索；猜想；推理；使用信息技术等等。小学数学也是“文化启蒙过程”的一部分“（小学数学教育活动）能够使儿童像其他社会成员一样，与社会的主流保持一致，理解这个社会最重要的成就
8、，包括参与科学技术发展的活动。”,19,小学数学活动应当植根于儿童的现实经验，使儿童能够应用强有力的数学思想，不仅有能力、有信心、还有兴趣。强调所有的学生都有机会学习强有力的数学思想，挑战我们需要做更多的研究，以支持教学的改革，使之更为有效。,20,三、数学思想的教学案例,掌握数学的思考方法是学好数学的一个重要环节。所以，课堂上加强对基本数学思想的教学应该注意如下几个方面：从数学思想上钻研教材，搞好教学首要条件是教师要吃透教材，领会教材中隐含的数学思想，从而更深入地掌握教材；抓住渗透数思想方法的机会，就数学来说，概念的形成过程，结论的推导过程、方法的思考过程，问题的发现过程以及规律的揭示过程等
9、都是向学生渗透数学思想方法的良好的契机；,21,掌握渗透数学思想方法的手段。利用例、习题进行思想方法的启迪，数学教学离不开对例题、习题的分析与解答，教师对此分析处理的思想层次应围绕着思想方法来渗透，引导学生自己提炼数学思想方法。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的全过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。学生只有积极参与教学的每一个环节，独立思考、合作交流、积累数学活动经验，才能逐步感悟数学思想的精髓。,22,教学案例,抢10游戏桌面上放有10枚棋子，甲乙两人轮流从中拿取。每人每次可以拿取1枚或者2枚棋子，但不能不拿，谁先拿到最后一枚谁就获胜。试分析，有没有取胜的策略。,23,分
10、析：设甲为先拿者。甲要想获胜，必须拿到最后1枚棋子才行，这只有在乙拿取之后留下1枚或者2枚时才能实现。接下来继续从后面往前推导：要想乙拿取之后留下1枚或者2枚棋子，甲必须拿到第7枚；而甲要想拿到第7枚，只有在上一次乙拿取之后留下4枚或者5枚时才能实现，所以，上一次甲必须拿到第4枚；而甲要想拿到第4枚，只有在上一次乙拿取之后留下7枚或者8枚时才能实现；所以，上一次甲必须拿到第1枚。1+2=3 103=31,24,至此真相大白，其必胜的策略是：要拿到10，必先拿到7；要拿到7，必先拿到4；要拿到4，必先拿到1。甲首先拿取1枚棋子，接着由乙拿取。如果乙拿走1枚，则甲拿走2枚；如果乙拿走2枚，则甲拿走
11、1枚。以后每一轮中，两人拿走的棋子数之和为3，这样甲保证获胜。,25,数学教学就是数学活动的教学。教师上课时，应该留有充足的时间，两人分组让学生充分地开展游戏活动，让他们经历和体验游戏的过程。活动结束后，要让学生把自己的想法表达出来与大家分享。然而，活动得到的有时是表面现象，有时是肤浅的，不能触及数学活动的本质。因此，活动之后教师应该提出有价值的问题，让学生静下心去“思”、去“想”、去“悟”。透过表象，运用归纳、概括等数学方法去寻找数学规律，发现数学本质，体会数学思想。,26,课堂教学必须抓住数学知识的核心，必须贯穿着前后一致、始终如一的数学思想主线。让学生既能够学到新的知识和解题技巧，也能够
12、对数学知识的探究和构建活动有所体验；同时还能够学习、领悟最基本的数学思想。只有这样，才能使课堂教学充满生机，富有灵性和生命力。,27,像“抢10游戏”教学，如果只是机械地展现上述教学过程，让学生参与游戏活动，学习体会“抢10游戏”的取胜策略和解题方法，而没有关注其中蕴含的基本数学思想，只讲授解题思路而不讲数学思想方法，只关注明线的知识，其结果只会是使学生对知识的理解囫囵吞枣、一知半解。这样，学生所学到的只是死的终端知识，不可能做到运用自如，举一反三。,28,在学生没有基本理解数学概念和思想方法时就进行大量解题操练，导致教学缺乏必要的根基，教学活动不得要领，在无关大局的细枝末节上耗费学生宝贵时间
13、，使数学课堂效益和质量低下的主要原因。虽然学生花费大量时间听老师不得要领的讲授，然后又做了无数的练习，然而学生的数学基础仍然十分脆弱。,29,事实上，在上述“抢10游戏”的教学过程中，蕴含着及其丰富的数学思想：（1）最佳策略与优化思想 优化思想就是在有限种或无限种可行方案中，挑选最优的方案的思想。希望以尽可能低的代价来达到某个目标，或者以一定的努力来获得尽可能大的效果，或者在一定的时间内做最大的业绩。当然，我们希望冒最小的风险.之所以我们对数学上的最大最小值问题颇感兴趣，是因为它能使我们日常生活中的问题理想化.我们甚至美好地设想，世界万物按我们的意愿行事，能以最小的努力获取最大的效果.,30,
14、（2）数形结合的思想。数学中的数和形关系非常密切，在分析本题时，一边分析一边画图，使题目中数量之间的内在联系变得比较直观。根据提出的问题，让图形更加直白地表达出数量关系，从而化难为易，使复杂问题简单化。“数学是画出来的”。教师在教学时，一定要让学生养成作图的好习惯。,31,数形结合,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并且使知识的理解更加深刻明了。数形结合有利于记忆、有利于思考。,32,（3）逆推的思想方法 要想获胜，必须拿到最后1枚棋子。而要拿到最后1枚棋子，又该怎么办呢？这样从题目中所表述的结果出发，利用已知条件一
15、步步倒着推理，直到问题解决。让学生在解决问题的过程中，感受“逆推”的方法对于解决特定问题的价值，从而进一步发展学生分析、综合问题和数学推理的能力。让学生体会到逆推不是解决问题的唯一策略，但却是一种重要的思想方法。,33,（4）构造模型的思想 表面上看，抢10游戏是两个人的博弈，与数学几乎不占边际。在每一轮的拿取棋子时，虽然“我”作为甲方，可以决定每次拿走1枚或者2枚，但是对方每次到底拿走1枚还是2枚，是不可知的，好像处于无序状态，似乎没有什么规律可循。在这种情况下我们应该冷静思考：必须制造一种有序，创造性地构造一种模型，寻找某种规律，让事情的发展沿着我们所设计的轨道运行，从而达到目的。,34,
16、每人每次可以拿取1或2枚棋子，所以两人在每一轮中共可以拿取2、3或者4枚。2和4都是不可控制的，唯独只有3是可以控制的。可以构造出两人每一轮拿取的棋子数之和一定是“3”这么一个规律。这样，就把抢10变成了抢3个3这个数学问题，从而让事情朝着有利于自己的方向发展。,35,（5）控制论与步步紧逼的极限思想,控制论强调系统的行为能力和目的性，强调要想控制全局保证自己取胜，就必须对事物发展的每一步进行严格控制，包括每一个细小的环节都必须在自己的掌控之中。对于抢10游戏来说，我太想一下就抢到10了。但这又做不到，于是自然想到分步实施。因为两人每一轮拿取的棋子数之和为“3”，这是我自己可以控制的。于是，就
17、把10枚棋子按照每3枚一份分开，103=31。这样，当我首先拿掉余数1时，剩下的只是3个3了，以后每一轮的操作过程和结果都会在自己的掌控之中，逐步逼近，朝着预定的目标前进，从而保证自己取胜。,36,（6）平衡与和谐的思想,平衡与运动分不开，是一种动态的平衡。在抢10游戏的两人博弈中，甲方我当把10枚棋子取走1枚时，便制造了3个3，两人在每一轮的拿取棋子中，我始终维持着“和数为3”这种平衡与和谐的局面，这就逼着对方始终处在破坏和谐、打破平衡的境地。“得道多助，失道寡助”，“多行不义，必自毙”，对方必输无疑。如果说，解答数学问题是数学学习的核心，那么数学思想方法就是数学学习的精髓和灵魂。教学时，思
18、路不清晰，分析不流畅，知识构建不自然，强加于人，在学生还没有基本理解数学概念、知识的来龙去脉和思想方法与策略时，就进行大量习题解题操练，是导致教学质量低下的主要原因。,37,教师在进行新知识的教学，必须想得宽阔，想得高远，想得深邃和深沉。如果教师在课堂教学中，在表层知识刚刚发生的过程中，带领学生体会数学思想，在不断追问中创造出体现数学思想的良机，在重视基础知识传授的同时，适时渗透数学思想方法。在思维不断激活的状态下，感悟和理解数学知识及其价值，并且长期坚持下去，学生长时间的受到数学思想方法的熏染，那么，学生的数学素养以及创造力就一定会有一个质的飞跃。,38,李尚志：数学如诗一般美丽,他能把看似深奥的数学问题用通俗的语言表述得十分清楚，使没有数学知识的人也能明白。同时，在他脑海里，任何事物都可以找到数学答案，数学因此精彩而十分美丽。,
