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1、1,E(X+Y)=E(X)+E(Y),E(X Y)=E(X)E(Y).,2,性质 4 的逆命题不成立，即,若E(X Y)=E(X)E(Y)，X,Y 不一定相互独立.,反例,注,3,但,4,若X 0，且EX 存在，则EX 0。,推论:若 X Y，则 EX EY。,证明：设 X 为连续型，密度函数为f(x),则由X 0 得：,所以,证明：由已知 Y-X0，则 E(Y-X)0。而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)E(Y)。,5,性质2和3,性质4,例1.设 XN(10,4)，YU1,5，且X与Y相互独立，求 E(3X2XYY5)。,解：,由已知，有 E(X)10,E(Y)3.,6,例2
2、.(二项分布 B(n,p)设单次实验成功的概率是 p，问n次独立重复试验中，期望几次成功？,解:引入,则 X X1+X2+Xn 是n次试验中的成功次数。,因此，,这里，XB(n,p)。,7,例3.将4 个可区分的球随机地放入4个盒子中,每盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望.,解一:设 X 为空着的盒子数,则 X 的概率分布为,8,解二:再引入 X i,i=1,2,3,4.,9,例4.将n个球放入M个盒子中,设每个球落入各个盒子是等可能的,求有球的盒子数X的期望。,解:,引入随机变量:,则 X=X1+X2+XM,于是,E(X)=E(X1)+E(X2)+E(XM).,每个随机变量Xi 都服
3、从两点分布,i=1,2,M.,10,因为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,所以，对第i个盒子,没有一个球落入这个盒子内的概率为(1-1/M).,故，n个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n,即:,11,注：129页4.27以此题为模型。,12,例5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即P第k次生产出的产品是正品=,假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数。,解：,设X是前10次生产的产品中的正品数，并设,13,例5.（续）,14,例6.某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为 p(0p1)，生产一件次品的概率为q=
4、1-p。生产一件产品的成本为c元，正品的价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利sc元，生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。若生产了N件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？,15,解：设第j个产品的利润,则 为N件产品的总利润。,由已知,16,前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的.,4.2 随机变量的方差,17,例如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮
5、的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好.,18,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们下面要介绍的,方差,19,设随机变量X的数学期望为E(X),若E(X-E(X)2存在,则称它为X 的方差（此时，也称X的方差存在)，记为Var(X)或D(X),即,定义,称Var(X)的算术平方根,为X的标准差或均方差，记为(X).,A.方差的概念,Var(X)=E(X-E(X)2,20,若X的取值比较分散，则方差较大.,刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。,若X的取值比较集中，则方差较小；,Var(X)=EX-E(X)2,方差,2
6、1,注意：,1)Var(X)0，即方差是一个非负实数。2）当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为Var(X)。方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。,22,方差的计算公式,(1)若 X 为离散型，概率分布为,(2)若 X 为连续型，概率密度为 f(x),则,则,23,方差的计算公式,常用的公式：,证明:,24,常见随机变量的方差,(1)参数为p 的 01分布,概率分布为：,前面已经计算过：E(X)=p，又,所以,25,概率分布为：,已计算过：E(X)=np，又,所以,(2)二项分布B(n,p),26,概率分布为：,已计算过：E(X)=，又,所以,(3)泊松分布P(),27,概率密度为：,已计算过：E(X)=(a+b)/2，又,所以,(4)区间a,b上的均匀分布Ua,b,28,概率密度为：,已计算过：E(X)=1/，又,所以,(5)指数分布E(),29,概率密度为：,已计算过：E(X)=，所以,(6)正态分布N(,2),30,例7.设,求 E(Y),D(Y).,解:,31,32,例8.已知 X 的密度函数为,其中 A，B 是常数，且 E(X)=0.5.,求 A，B.(2)设 Y=X2,求 E(Y),D(Y).,33,解:(1),34,(2),f(x)=(-6x2+6x)I(0,1),
