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1、7.5 本征值和本征向量,7.5.1 本征值和本征向量的定义,问题1 定义为什么限制 非零?,问题2 属于的本征值是否被本征向量唯一确定?,问题3 属于的同一本征值的本征向量是否唯一 确定?,问题4 F上的向量空间V中本征向量与一维不变子 空间有什么关系?,例题1-3,7.5.2 本征值和本征向量的计算方法,若 关于基 的坐标,关于基 的坐标,则,而,则有,即有,即 关于基 的坐标是上述（1）以 为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；,即 是 的一个本征值时其须满足（2）；,从而 满足,即 为线性变换 的一个本征值.,反之若 满足(2)，则(1)有非零解,同时,非零解 即为本征向量 关于基 的坐
2、标.,称为A的特征多项式.,称为A的特征方程，,称为A的特征矩阵.,相似矩阵有相同的特征多项式吗?,的全部的本征值可以由 关于V的任意一个基的矩阵的特征多项式来决定,因此把它改称为线性变换 的特征多项式,记为,把 在复数域C内的根（即 在复数域C内的解）叫做矩阵A的特征根.若 为A的一个特征根，那么相应的齐次线性方程组,的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根 的一个 特征向量.,注意:)方阵才有上述概念，注意其特征根的范围.,）由上述讨论及概念知线性变换 的本征值与本征向量与矩阵的特征根与特征向量的关系：,矩阵A的属于F的特征根就是 的本征值，而A的属于特征根的特征向量，就是 的属于的,本征向量关
3、于所给定的基的坐标.,特征多项式的进一步讨论,1.相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征根.,2.矩阵 的特征多项式展开,的降幂形式的前两项为:,由多项式的性质 的常数项为:,定义3 矩阵A的主对角线上元素的和称为矩阵A的迹.,综上,A的特征根与 的展开式中的系数的关系?,设 是A在C内的全部特征根，则由根与一次因式的关系有：,比较（1）（2）得：,7.5.4 矩阵特征值和特征向量的计算方法,使,是A的特征值,有非零解,的根.,且,是A属于的特征向量,求A的全部特征值和特征向量的步骤：,1.计算特征多项式,解：A的特征多项式为,A的特征值为,对于 解,由于 得基础解系,A的对应于 的全部
4、特征向量为,即,对于 解,即,由于,得基础解系,A的对应于 的全部特征向量为,注4：A的特征向量有无穷多个，分为两大类：,一类为 一类为,问题1：同类的两个特征向量的线性相关性如何？问题2：不同类的任意两个特征向量的线性相关性如何？,解 A的特征多项式,A的属于特征值1的全部特征向量为,得基础解为,A的属于特征值 1 的全部特征向量为,得基础解系:,(1)如果向量 是矩阵 的特征向量，则k=_,2,B.,C.,D.,7.5.4 特征值和特征向量的性质,只须证,注意到,注意到,（*）,（*）,在（*）和（*）中令=0,求线性变换 的本征值与相应的本征向量的方法步骤:,1）取定V的一个基,求 关于这个基的矩阵为A;,2）求出A的特征多项式 在数域F内的全部根 即是 的全部本征值.,一.内容分布 7.5.1 本征值本征向量的定义 7.5.2 本征值和本征向量的计算方法 7.5.3 矩阵特征值和特征向量的计算方法 7.5.4 特征值和特征向量的性质小结二.教学目的 1.理解特征值和特征向量的概念 2.熟练掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法 3.掌握特征值与特征向量的一些常用性质三.重点难点 矩阵的特征值和特征向量的求法及性质,
