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1、8-1 应力状态的概念8-2 平面应力状态分析解析法8-3 平面应力状态分析图解法（应力圆）8-4 空间应力的应力状态分析一点的最大应力8-5 广义胡克定律8-6 强度理论概念,第八章 应力状态分析 强度理论,1、问题的提出,8-1 应力状态的概念,轴向拉伸杆件,斜截面应力：,问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；,横截面应力：,梁弯曲的强度条件：,问题2 B点处应力该如何校核？,有必要研究一点的应力状态。,过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。,应 力,指明,2、点的应力状态的概念,研究应力状
2、态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最 大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当 的强度条件。,3、一点的应力状态的描述,研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体单元体进行分析,各边边长,在单元体各面上标上应力,应力单元体,取单元体示例一,S截面,S 截面,取单元体示例二,S 截面,忽略弯曲切应力,图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。,取单元体示例三,（1）、主平面与主应力：,主平面：切应力为零的平面。,主应力：作用于主平面上的正应力。,主应力排列规定：按代数值由大到小。,过一点总存在三对
3、相互垂直的主平面，对应三个主应力,4、应力状态的分类,a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。,b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力 等于零的应力状态。,c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。,（2)、应力状态的分类,平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。,复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。,空间应力状态：三向应力状态,简单应力状态：单向应力状态。,纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。,空间应力状态,平面应力状态,单向应力状态,纯剪应力状态,一、斜截面上的应力计算,82 平面应力的应力状态分析 解
4、析法,空间问题简化为平面问题,-逆时针转为正。,设：斜截面面积为A，由分离体平衡得：,单元体各面面积,由切应力互等定理和三角变换，可得：,符号规定：1)“”正负号同“”；2)“t a”正负号同“t”；3)“a”为斜面的外法线与 x 轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针 为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。,主平面的方位,主应力的大小,讨论：,1)、,2)、的极值 主应力以及主平面方位,可以确定出两个相互垂直的平面主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。,3)、切应力t a 的极值及所在截面,最大切应力 所在的位置,xy 面内的最大切应力,由,主平面的位置,最大切应力 所在的位置,将 与
5、 画在原单元体上。,例：如图所示单元体，求a 斜面的应力及主应力、主平面。,（单位：MPa）,300,40,50,60,解：1、求斜面的应力,2、求主应力、主平面,主应力：,主平面位置：,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,8-3 平面应力的应力状态分析 图解法,对上述方程消参数（2），得：,一、应力圆：,圆心：,半径：,应力圆：,二.应力圆的画法,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面 上的正应力和切应力,三、几个对应关系,转向对应半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；,二倍角对应半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。,d,a,c,B,E,主应力单元体,例题 试用应力圆法
6、计算图示单元体e-f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。,A,D,用应力圆解法,f,解：,主应力单元体：,D,例：求 1）图示单元体=300 斜截面上的应力 2）主应力、主平面（单位：MPa）。,60,E,2、量出所求的物理量,解：1、按比例画此单元体对应的应力圆,与3平行的斜截面上的应力可在1、2 应力圆的圆周上找到对应的点。与2平行的斜截面上的应力可在1、3 应力圆的圆周上找到对应的点。与1平行的斜截面上的应力可在2、3 应力圆的圆周上找到对应的点。,8-4 空间应力的应力状态分析 一点的最大应力,1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。,
7、图a,图b,2).整个单元体内的最大切应力为：,结论,3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：,例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）,解：1)x面为 主平面之一,2)建立应力坐标系如图，画yz平面的应力圆及三向应力圆得:,解析法,1)由单元体知：x 面为主平面之一,2)求yz面内的最大、最小正应力。,3)主应力,4)最大切应力,（M Pa）,200,300,50,tmax,平面应力状态作为三向应力状态的特例,200,50,300,50,二、三向应力状态：,（广义虎克定律）,+,+,一、单向应力状态：,8-5 广义胡克定律,三、广义胡克定律的一般形式:,主应力与主应变方向是否一
8、致?,广义胡克定律的应用求平面应力状态下任意方向 的正应变：,a,a+90,例 槽形刚体内放置一边长为a=10 cm 正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F=8 kN，E=200 GPa,=0.3。,解：1)研究对象：,2)由广义虎克定律：,正方形钢块,展开上式，并略去高阶微量：,四、体积应变,体积应变与应力分量间的关系:,-平均应力。,体积应变单位体积的体积改变,体积虎克定律:,形状改变比能:,单元体的比能(单位体积储存的变形能)：,利用广义虎克定律:,图 b 体积改变，,形状不变；,图 c 形状改变，体积不变。,单元体的比能：,称为体积改变比能,图 C 单元体的体积应变：,单元体的比能 体积
9、改变比能(b)形状态改变比能(c),称为形状改变比能,所以图 C 单元体体积不变,图 a 单元体的体积应变：,称为形状改变比能 或 畸形能,b图的体积应变比能：,强度理论：,8-6 强度理论概念,构件在静载荷作用下的两种失效形式：,(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,本章介绍常用的四个经典强度理论,人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起
10、破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）。,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单向拉伸实验测得,8-7 四个经典强度理论 莫尔强度理论,断裂条件,2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,断裂条件,即,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都
11、是由于最大切应力达到了某一极限值。,3.最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状改变比能达到一个极限值。,4.形状改变比能理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,屈服条件,强度条件,实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,强度理论的统一表达式：,s r 相当应力,
