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1、离散型随机变量的方差,则称 E=x1p1+x2p2+xkpk+xnpn为的数学期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别,还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,显然两名选手的水平是不同的,这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性.,一组数据的方差：,类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差。,回顾：对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的.
2、,一、离散型随机变量取值的方差和标准差:,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,注：标准差与随机变量有相同的单位。,练习：1.已知随机变量x 的分布列,求Dx和x.,解：,2.若随机变量x满足P(xc)1，其中c为常数，求Ex和Dx.,Exc1c,Dx（cc）210,性质2：（1）若 两点分布，则D=p(1-p);（2）若B(n,P),则D=np(1-p);（3）若几何分布，则D=(1-p)/p2.,易证离散型随机变量的方差满足以下性质：,练习1、已知随机变量的分布列为,=3+1,(1)E=_,D=_,(2)E=
3、_，D=_.,2.已知xB(100,0.5),则Ex=_,Dx=_,x=_.E(2x-1)=_,D(2x-1)=_,(2x-1)=_,50,25,5,99,100,10,3.若随机变量服从二项分布，且E=6，D=4,则此二项分布是。,已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x1、x2的分布列如下：,试比较两名射手的射击水平.,如果对手在8环左右,派甲.如果对手在9环左右,派乙.,注：期望值高,平均值大,水平高 方差值小,稳定性高,水平高,如果其他对手的射击成绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛?如果其他对手的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛？,练习：设随机变量X的分布列如下，求DX.
4、,例2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.,例3：盒子中有5个球，其中有3个白球，2个黑球，从中任取两个球，求白球数的数学期望和方差。,例4：每人在一轮投篮练习中最多可投4次，现规定一旦命中即停止该轮练习，否则一直试投到4次为止.已知一选手的投篮命中率为0.7,求一轮练习中该选手的投篮次数的分布列，并求出的期望E 与方差D（保留3为有效数字）,例5：设某运动员投篮投中的概率为p=0.
5、6.(1)求一次投篮时投中次数的期望和方差；(2)求重复5次投篮时投中次数的期望和方差。,例6:设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验，求当p为何值时，成功次数的标准差的值最大，并求其最大值。,例7：将一枚硬币抛掷20次，求正面次数与反面次数之差的概率分布，并求出的期望E 与方差D.,离散型随机变量的期望与方差,(05江西高考)A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求的取值范围；（2）求的数学期望E.,解:(
6、1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则,可得：,例(07全国高考）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为,商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元表示经销一件该商品的利润（）求事件A“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；（）求的分布列及期望E,例(07北京高考)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；（II）从合唱团中任意选两
7、名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率（III）从合唱团中任选两名学生,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望E,1,2,3,10,20,30,40,50,参加人数,活动次数,例.某电器商经过多年的经验发现本店每月出售的电冰箱的台数X是一个随机变量，它的分布列为P(X=k)=1/12(k=1,2,12).设每售出一台电冰箱,该经销商获利300元，如果销售不出而囤积于仓库，则每台每月需支付保养费100元.问该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己月平均受益最大？,例(07安徽)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此
8、时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以表示笼内还剩下的果蝇的只数.（）写出的分布列（不要求写出计算过程）；（）求数学期望E；（）求概率P（E）.,解:（）的分布列为：,例.某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3km时，租车费为6元，若行驶路程超过3km，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费.设出租车一天行驶的路程数X(按整km数计算，不足1km的自动计为1km)是一个随机变量，则其收费数 也是一个随机变量.已知一个司机在某个月中每次出车都超过了3km，且一天的总路程数可能的取值是200
9、,220,240,260,280,300(km)，它们出现的概率依次是0.12,0.18,0.20,0.20,100a2+3a,4a（1）求这一个月中一天行驶路程X 的分布列，并求X 的数学期望和方差；（2）求这一个月中一天所收租车费 Y的数学期望和方差,（1）由概率分布的性质2有，0.12+0.18+0.20+0.20+100a 2+3a+4a=1，,18，4a=0.12，的分布列为,（2）由已知,思考：,巴拿赫(Banach)火柴盒问题波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数k的分布列。,
