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1、第八章刚体的平面运动,8-1 刚体平面运动的概述和运动分解,平面运动,实例:曲柄滑块机构,刚体的平面运动实例,齿轮传动机构,刚体的平面运动实例,行星齿轮机构,刚体的平面运动实例,（沿直线）滚动的车轮,刚体的平面运动实例,电影放映机中的四连杆机构,刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。,平面运动的定义,刚体的平面运动可以简化为平面图形 S 在其自身平面内的运动。,平面运动的简化,这些平面上对应的点具有相同的运动轨迹、相同的速度和相同的加速度。,特点：,刚体上所有平行于固定平面的平面具有相同的运动规律；,车轮的平面运动可以看成是车轮随同
2、车厢的平移运动和相对车厢的转动的合成。,绝对运动车轮相对于静系（地面）的平面运动牵连运动车厢（动系Ax y）相对于静系的平移运动相对运动车轮相对于车厢（动系Ax y）的定轴转动,平面运动的简化,任意线段AB 的位置可用A 点的坐标和AB与 x 轴的夹角来描述，图形S 的位置决定于三个独立的参变量（三个自由度），所以：,为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。,平面运动的方程,刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。,平面运动的方程,根据平面运动方程，对于每一瞬时 t，都有对应的 xA、yA和，图形S 在该瞬时的位置是完全确定的。,当图形S 上A
3、 点固定不动时，刚体作定轴转动。,当图形S 上 角固定不变时，刚体作平移运动。,曲柄滑块机构中OA=r，AB=l，曲柄OA以等角速度 绕O 轴转动。求：1、连杆的平面运动方程；2、连杆上P 点（AP=l1）的运动轨迹、速度与加速度。,例题 1曲柄滑块机构,解：1、确定连杆平面运动的3个独立变量（xA，yA，）与时间的关系。首先确定与 之间的关系，由图中的几何关系，有,例题 1曲柄滑块机构,连杆的平面运动方程为：,2、连杆上P 点的运动方程：,例题 1曲柄滑块机构,当r l 时，应用泰勒公式，可忽略4次方以上的项：,因此连杆上P 点的运动方程为,例题 1曲柄滑块机构,3、连杆上P 点的速度与加速
4、度,速 度,加速度,例题 1曲柄滑块机构,平面运动的分解,定义动系上的原点A 为基点，于是,车轮的平面运动,平面运动的分解,刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。,刚体平面运动分解为平移和转动的基本方法,选择基点任意选择,在基点上建立平移系（特殊的动系）在刚体平面运动的过程中，平移系只发生平移,刚体平面运动（绝对运动）可以分解为跟随平移系的平移（牵连运动），以及平面图形相对于平移系的转动（相对运动）,平面运动的分解基点的选择,平面运动的分解基点的选择,平移的轨迹、速度与加速度都与基点的位置选择有关。,转动角速度与基点的位置无关,平面运动的分解基点的选择,因为平移系(动系)相对于定
5、参考系没有方位的变化，平面图形的角速度既是平面图形相对于平移系的相对角速度，也是平面图形相对于定参考系的绝对角速度。,如图，平面图形S 在t 时间内从位置 I（AB）运动到位置 II（AB）。,以A为基点：随基点A平动到AB后，绕基点转1角到AB以B为基点：随基点B平动到AB后，绕基点转2角到AB图中看出：AB AB AB，1 2，于是有：,AB杆作平面运动平面运动的分解基点的选择：比较,曲柄连杆机构,平面运动的分解基点的选择,平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的运动规律与基点选取无关（即在同一瞬间，平面图形绕任一基点转动的与都是相同的）。基点的选取是任意的（通常选取运
6、动情况已知的点作为基点）。在同一瞬时，平面运动的刚体只有一个角速度、只有一个角加速度。,基点速度与平面图形的角速度是描述刚体平面运动的特征量：,对于分解为平移和转动的情形，平面图形上任选基点A 的速度vA，以及平面图形的角速度，是描述刚体平面运动的特征量。vA 描述图形跟随基点的平移 描述相对于基点平移系的转动,8-2 求平面图形内各点速度的基点法,解：取A 为基点，取B 为动点，则B 点的运动可看作牵连运动为随A 点的平动和相对运动为绕A 点的转动（圆周运动）的合成。,已知平面图形内A 点的速度和图形的角速度，求另一点B 点的速度。,1,速度合成定理：平面图形上任意点的速度，等于基点的速度，
7、与这一点对于以基点为原点的平移系的相对速度的矢量和：,其中,动点：M,绝对运动：待求,牵连运动：平移,动系：(平移坐标系),相对运动：绕 点的圆周运动,2.速度投影定理,同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。,沿AB连线方向上投影,由,速度投影定理可以通过刚体的定义直接得到！,已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。,求：B端的速度以及尺AB的角速度。,例8-1,1.AB作平面运动 基点：A,解：,已知：如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BDAE，杆AB的角速度为=5rad/s。,求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中
8、点C的速度。,例8-2,1.BD作平面运动 基点：B,解：,已知：曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=。如曲柄OA以匀角速度转动。,求：当 时点 的速度。,例8-3,1.AB作平面运动 基点：A,解：,已知：如图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半径为r1，行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。,求：轮的角速度及其上B，C 两点的速度。,例8-4,1.轮作平面运动 基点：A,.,解:,如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。,求
9、：此瞬时点E的速度。,例8-5,1.AB作平面运动,2.CD作定轴转动，转动轴：C,3.DE作平面运动,解：,8-3 求平面图形内各点的瞬心法,一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点，称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。,1.定理,基点：A,平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。,基点：C,2.平面图形内各点的速度分布,3.速度瞬心的确定方法,已知 的方向，且 不平行于。,瞬时平移(瞬心在无穷远处),且不垂直于,纯滚动(只滚不滑)约束,确定速度瞬心位置的方法,已知A、B两点的速度方向，试确定速度瞬心的位置。,瞬时平移,例:沿直线轨道作纯滚动的车轮,其
10、半径为R，轮心的速度为u,求轮上A、B、C、D的速度。,解：,车轮与轨道的接触点A为速度瞬心。,车轮的角速度为,速度瞬心法的特点：（1）计算简便；,（2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布。,已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。,求：用瞬心法求B端的速度以及尺AB的角速度。,例8-7,AB作平面运动，速度瞬心为点C。,解：,已知：矿石轧碎机的活动夹板长600mm，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100 mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。,求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速
11、度。,例8-8,1.杆GE作平面运动，瞬心为 C1。,2.杆BG作平面运动，瞬心为C。,解:,解：机构中曲柄OA作定轴转动，连杆AB作平面运动，滑块B 作平动。,已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄OA以匀角速度 转动。求：当=45时，滑块B 的速度及AB杆的角速度。,例题 曲柄连杆机构,（1）基点法 研究连杆AB，以A 为基点，且vA=l，方向如图示。,根据,在B点做 速度平行四边形，如图示。,根据速度投影定理,用速度投影法不能求出,（2）速度投影法研究连杆AB，A点速度 vA=l，方向OA。B点速度 vB方向沿BO直线。,例题 曲柄连杆机构,（试比较上述三种方法的特点）,（3）速度瞬心法
12、研究连杆AB，A 点与B 点速度的方向已知，因此可确定出 P 点为速度瞬心。,例题 曲柄连杆机构,例题 行星齿轮机构,已知:R、r、0，轮A作纯滚动，求,解：OA定轴转动，轮A作平面运动，P 点为轮A 的瞬心。,例题 行星齿轮机构,楔块圆盘平面机构中，楔块M倾角=30，速度v=12cm/s；圆盘半径 r=4cm，与楔块间无滑动。求圆盘的角速度、杆OC 的速度以及圆盘上B 点的速度。,例题 楔块圆盘平面机构,解：杆OC 和楔块M均作平动；圆盘作平面运动，P 为圆盘的速度瞬心。,例题 楔块圆盘平面机构,例题 曲柄肘杆压床机构,已知：OA=0.15m，n=300 rpm，AB=0.76m，BC=BD
13、=0.53m，在图示位置 AB 杆水平。求该位置时的BD、AB及vD。,解：杆OA、BC 作定轴转动，杆AB、BD 均作平面运动。,研究BD 杆，P2为其速度瞬心，BDP2为等边三角形,例题 曲柄肘杆压床机构,研究AB 杆，P1为其速度瞬心,8-4 用基点法求平面图形内各点的加速度,平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。,已知：如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。,求：点A和B的加速
14、度。,例8-9,1.轮作平面运动，瞬心为 C。,2.选基点为,解:,已知：如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度绕O 轴转动。ODADBDl。,求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。,例8-10,1.AB作平面运动，瞬心为 C。,解：,求：车轮上速度瞬心的加速度。,已知：车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为，加速度为，车轮与地面接触无相对滑动。,例8-11,1.车轮作平面运动，瞬心为 C。,3.选为基点,解：,例题 曲柄滚轮机构,曲柄滚轮机构的曲柄长度与滚轮半径均为15cm，曲柄转速 n=60 rpm。,求：当=60时（OAAB）滚轮的角速度与角加速度。,P1为AB 杆的
15、速度瞬心，P2 为轮 B 的速度瞬心：,解：OA定轴转动，AB杆和轮B作平面运动。要求出滚轮的与，应当先求出 vB与 aB,例题 曲柄滚轮机构,取A为基点：,作加速度矢量图，将上式向BA线上投影：,点P2为轮B 的速度瞬心：,例题 曲柄滚轮机构,？,？,其中：,所以：,8-5 运动学综合应用举例,1.运动学综合应用：机构运动学分析。,2.已知运动机构 未知运动机构,3.连接点运动学分析,求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,已知：图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE
16、夹角为,例8-12,1.杆BE作平面运动，瞬心在O点。,取E为基点,沿BE方向投影,解：,绝对运动：直线运动(BD)相对运动：直线运动(OA)牵连运动：定轴转动(轴O),2.动点：滑块B 动系：OA杆,沿BD方向投影,沿BD方向投影,求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。,已知：在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。,例8-13,1.动点：铰链A 动系：套筒O,解：,另解：1.取坐标系Oxy,2.A点的运动方程,3.速度、加速度,求：此瞬时AB杆的角速度及角加速度。,已知：如图所示平面机构，AB长为
17、l，滑块A可沿摇杆OC的长槽滑动。摇杆OC以匀角速度绕轴O转动，滑块B以匀速沿水平导轨滑动。图示瞬时OC铅直，AB与水平线OB夹角为。,例8-14,2.动点：滑块 A，动系：OC 杆,1.杆AB作平面运动，基点为B。,速度分析,解：,加速度分析,如图所示平面机构中，杆AC铅直运动，杆BD水平运动，A为铰链，滑块B可沿槽杆AE中的直槽滑动。图示瞬时,求：该瞬时槽杆AE的角速度、角加速度及滑块B相对AE的加速度。,例8-15,动点：滑块B动系：杆AE,基点：A,解：,沿 方向投影,沿 方向投影,例题 曲柄摆杆滑块机构,求：该瞬时O1D摆杆的角速度,曲柄OA=r 以匀角速度 转动，连杆AB=l 的中点C处连接一滑块C，可沿导槽O1D滑动，图示瞬时OAO1三点在同一水平线上，OAAB，=30。,解：曲柄OA、摆杆O1D均作定轴转动，连杆AB作平面运动。,采用点的合成运动方法求O1D杆上与滑块C 接触点（牵连点）的速度：,例题 曲柄摆杆滑块机构,连杆AB在图示位置作瞬时平动，所以：,动点连杆AB上C点（或滑块C）动系摆杆O1D,绝对运动曲线运动相对运动直线运动牵连运动定轴转动,这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题。,例题 曲柄摆杆滑块机构,本章结束，谢谢！,作业：习题 8-4，8-5,8-6,8-9(=0o和90o)。8-16,8-18。,第八章,
