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1、,第八章刚体的平面运动,81 刚体平面运动的概述和运动分解 82 求图形内各点速度的基点法 83 求平面图形内各点速度的瞬心法 84 用基点法求平面图形内各点的加速度 85 运动学综合应用,第八章 刚体的平面运动,刚体的平面运动,注重学习分析问题的思想和方法,刚体的平面运动,重点刚体平面运动的分解；熟练应用各种方法求平面图形上任一 点的速度。求平面图形上任一点的加速度。难点运动的分解与合成求平面图形上各点的速度和加速度的基点法；,实例1,8-1 刚体平面运动的概述与分解,实例2,实例3,刚体的平面运动,实例4,在运动中，刚体上的任意一点到某一固定平面的距离始终保持不变。,平面运动：,刚体的平面
2、运动,机械臂抓举、搬运零件,刚体始终在自身平面内运动；,刚体上每一点都在与某一固定平面平行的平面内运动；,刚体平面运动的特征,刚体的平面运动,刚体平面运动的特征,在自身平面内又移又转；,刚体的平面运动,二、平面运动刚体的运动方程,转动定位,平面运动刚体的运动方程,刚体的平面运动,一、分析车轮上一点的运动,9-1（二）刚体平面运动的分解,刚体的平面运动,牵连运动,车厢的平动,相对运动：,绕平动坐标系原点O的转动,绝对运动,车轮的平面运动,分析车轮上一点的运动,绝对运动=牵连运动+相对运动,=随O的平动+绕O的转动。,平面运动刚体上任一点M的运动,=随基点的平动+绕基点的转动。,O,+绕动系的转动
3、。,=随动系的平动,动系铰接在基点处,刚体的平面运动,基点,在平面运动图形上任取的点O,在基点处假想地安上一个平移参考系Oxy；,平动坐标系,二、基点 平动坐标系,平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变。,O,刚体的平面运动,三、平面运动的分解1,随基点的平动,绕基点转动,+,刚体的平面运动,平面运动的分解2,随基点的平动,绕基点转动,+,刚体的平面运动,机械臂抓举、搬运零件,绕基点的转动,+随基点的平动,刚体的平面运动,刚体的平面运动,刚体的平面运动(绝对运动),随同基点的平动(牵连运动),绕着基点的转动(相对运动),结论,刚体的平面运动,四、不同的基点选择对运动分析的影响,刚体的平面运动
4、,2、不同的基点选择只影响随基点平动部分,3、刚体绕基点转动的角速度和角加速度是刚体自身的运动量,1、平面运动可取任一点作为基点而分解为平动和转动。,虽然基点可任意选取,注意：,选取运动情况已知的点作为基点。,不影响转动部分,与基点的选择无关。,刚体的平面运动,平移的速度、加速度与基点的选择有关,8-2求图形内各点速度的基点法,一基点法,平面图形内任一点的速度,=基点的速度,与该点随图形绕基点转动速度,的矢量和。,刚体的平面运动,vBA AB,二 速度投影定理,vBAAB=0,平面图形上任意两点的绝对速度,在该两点连线上的投影相等。,刚体的平面运动,例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄
5、OA以匀 转动。求：当=45时,滑块B的速度及AB杆的角速度,不能求出,1、速度投影定理,2、基点法,例2 椭圆规机构,已知连杆AB长l=20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s，求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。,A,B,30,M,应用投影定理,A,vA,B,30,M,30,基点法计算角速度,刚体的平面运动,基点法计算M点的速度,合成法,A,vA,B,wAB,30,M,x,y,刚体的平面运动,例3 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮II沿轮I只滚而不滑动，半径为r2。杆OA角速度为wO。求轮II的角速度wII及其上B，C两点的速度。,wO,O,D,
6、A,C,B,I,II,分析两轮接触点D,vDAvAwO(r1+r2),vD0,刚体的平面运动,wO,O,D,A,C,B,I,II,以A为基点，分析点B的速度。,以A为基点，分析点C的速度。,刚体的平面运动,例5：已知：图示机构：AB=BD=DE=l=300mm,图示瞬时 BDAE，=5rad/s。求：DE及vC(C为BD中点)。,vB=AB=1500mm/s,DE=vD/l=5rad/s,投影定理,刚体的平面运动,DB=vDB/l,基点法计算刚体转动角速度,vCy=vCB-vB sin300,vCB=BCBD,vCx=vB cos300,基点法计算C点速度,刚体的平面运动,例4 传送带AB以V
7、A=2m/s 运动，同时半径 r=0.1m的圆柱体又沿传送带作纯滚动，在图示位置具有角速度=15rad/s。求M点速度 vM 和 v0。,基点：D点,vD=vA=2m/s,1、求vM,刚体的平面运动,刚体的平面运动,2、求vO,思考：带AB不动时，点O、M的速度如何?,基点：D点,刚体的平面运动,练习1：图示中的连杆机构，曲柄OA以绕轴O匀速转动，图示时刻恰好OA位于水平，BC位于铅垂；已知：OABCAC/2，求此时AC、BC的角速度。,练习2：曲柄OAR，以匀角速度绕轴O转动，ABL，BC2R，图示时刻OA、BC位于铅垂，AB与水平线成30度角，求BC、AB的角速度。,练习3：OAABBCC
8、DL，OA以匀角速度1绕轴O转动，CD以匀角速度2绕轴D转动。图示瞬时AB与BC成45度角，OA铅垂，CD水平，求B点的速度、AB杆、BC杆的角速度。,1,练习4：图示中OAR，以匀角速度绕轴O转动，ABL，BC2R，图示时刻OA位于铅垂，AB水平，BC与铅垂线成30度角，求BC、AB的角速度。,练习5：图示时刻OAOO1R，BC2R，OA与ABC成45度角，AOO1共线，求此时C点的速度。,练习6：飞轮以匀角速度的速度绕圆心轴转动，半径为R，飞轮的边缘上铰接一杆AB，ABBCBDL，图示时刻A处的半径OA与水平线成30度角，AB杆水平，BC、BD分别与铅垂线成30度角，求此时AB、BD、BC
9、的角速度与滑块D的速度。,练习7：图示时刻ABBCOBL，OB垂直于AB，滑块A的速度为v，水平向右。求图示瞬时OB、AC杆的角速度与C点的速度,回顾基点法,8-3求图形内各点速度的瞬心法,如何选择基点？,vA=0,一、速度瞬心,在某瞬时，平面图形内速度为零的点,瞬时速度中心，简称为速度瞬心。,一般情况下 0：,某平面图形内是否存在速度瞬心？,如果存在速度瞬心，如何寻找速度瞬心？,找到了速度瞬心，如何利用速度瞬心来分析平面运动图形上任意一点的速度？,问题,如果取AP vA/w，则,一般情况（0），在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。,二、定理,刚体的平面运动,速度瞬心的位置,过
10、速度已知的点，在已知速度矢量的垂线上；,到已知点的距离：,刚体的平面运动,1、平面图形沿一固定的表面作无滑动的滚动,三、如何寻找速度瞬心,刚体的平面运动,沿一固定的表面作无滑动的滚动,2、已知图形内任意两点的绝对速度,刚体的平面运动,3、图形内任意两点的速度矢量同向，大小不等，并且速度的方向垂直于两点的连线,刚体的平面运动,4、图形内任意两点的速度矢量反向，并且速度的方向垂直于两点的连线,刚体的平面运动,5、某一瞬时，图形上任意两点的绝对速度矢量相等,瞬时平动,刚体的平面运动,瞬时平动,速度瞬心位置的确定总结,刚体的平面运动,瞬时平动,确定下列平面运动刚体在该时刻的速度瞬心,刚体的平面运动,确
11、定下列平面运动刚体在该时刻的速度瞬心,刚体的平面运动,四、利用速度瞬心分析速度,平面图形绕速度瞬心的瞬时转动,速度的大小,R,速度的方向,垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的方向,刚体的平面运动,平面图形各点速度分布,平面图形绕速度瞬心的瞬时转动,刚体的平面运动,例题：车轮的半径为R，沿直线路面行驶的速度为v，求车轮上A、B、C三点的速度。,自行车轮在运动中各点的速度分布,刚体的平面运动,五、如何理解速度瞬心,1、每一个平面运动的刚体，当0时，有各自的速度瞬心；,4、以速度瞬心为基点，任意一点的绝对速度等于绕速度 瞬心的瞬时转动速度；,2、速度瞬心不是一个固定的点，不同时刻速度瞬心的位置
12、 不同；,3、速度瞬心只是该点的速度等于零，加速度不等于零；,刚体的平面运动,六、如何理解绕速度瞬心的瞬时转动与定轴转动,1、定轴转动时转轴上各点：,瞬时转动时：,2、定轴转动时，转轴的位置不变，,速度分析完全相同,3、加速度分布规律不同；,相同之处：,不同之处：,而速度瞬心的位置时刻在变化；,刚体的平面运动,七、如何理解瞬时平动与刚体平动的区别,各点的轨迹形状相同；,刚体不转动，,=0,=0,=0,各点的轨迹不同；,刚体的平面运动,思考题1,O1A上各点的速度分布规律是否正确?,AC上各点的速度分布规律是否正确?,PABC,例1 已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，取柄OA以匀 转动。求：当=
13、45时,滑块B的速度及AB杆的角速度,刚体的平面运动,例2 椭圆规机构如图。已知连杆AB的长度l=20 cm，滑块A的速度vA=10 cm/s，求连杆与水平方向夹角为30时，滑块B和连杆中点M的速度。,A,vA,B,30,P,M,刚体的平面运动,例3,例4 图示机构，已知曲柄OA的角速度为w，OAABBO1O1Cr，角a=b=60，求滑块C的速度。,w,a,b,O,A,B,O1,C,P1,P2,刚体的平面运动,例5 曲柄肘杆式压床如图。已知曲柄OA长r以匀角速度w转动，AB=BC=BD=l，当曲柄与水平线成30角时，连杆AB处于水平位置，而肘杆DB与铅垂线也成30角。试求图示位置时，杆AB、B
14、C的角速度以及冲头C 的速度。,A,O,B,D,C,30,30,w,P1,P2,例6.图示瞬时滑块A以速度 vA 沿水平直槽向左运动,并通过连杆AB 带动轮B 沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知轮B的半径为r,园弧轨道的半径为R,滑块A 离园弧轨道中心O 的距离为l.求该瞬时连杆AB的角速度及轮B边缘上M1和M2点的速度.,刚体的平面运动,杆AB作瞬时平动,vA=vB,vM1=2 vB=2 vA,AB=0,刚体的平面运动,例8：已知：图示机构：OA=30cm,以=5rad/s 绕O轴转动，R=20cm，r=10cm。求：图示瞬时 轮A及vC。,刚体的平面运动,vA=（R+r）=150cm/s,vP
15、=0,vB=vBP=轮A 2r=300cm/s,分析A轮,刚体的平面运动,vB=轮A 2r=300cm/s,vB=vC cos300,分析BC杆,刚体的平面运动,例9 曲柄滚轮机构 OA=15cm、n=60 rpm，滚子半径R=OA,求：当=60时(OAAB),滚轮的,刚体的平面运动,刚体的平面运动,例10.在图示机构中,平衡杆O1A绕O1轴转动,并借与齿轮固结的连杆AB带动曲柄OB,而曲柄OB活动地装置在O 轴上,在O 轴上装有齿轮齿轮的轴安装在连杆AB的B端.已知r1=r2=52cm,O1A=75cm,AB=150cm,O1=6rad/s,=60 杆OB水平AB 铅垂.求杆OB及齿轮的角速
16、度.,刚体的平面运动,vA=(O1A)O1,vB=(PB)AB,AB=1.5 rad/s,OB=3.75 rad/s,D,vD=(PD)AB,O=6 rad/s,=(PA)AB,=(OD)O,=(OB)OB,刚体的平面运动,例11 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向右滑动，圆柱半径，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，求 时圆柱的角速度。,刚体的平面运动,几点注意,3、当平面几何简单时，分析速度可采用瞬心法；,1、基点法是速度分析的基本方法；,瞬心法既可以求某点的速度，也可以求刚体运动的角速度；,4、确定速度瞬心的速度是该点的绝对运动速度；,5、具体分析时三种方法灵活运用；,2、速
17、度投影法 应用起来简单，但必须知道待求速度 点的方位，致命的弱点是不能求图形的角速度,练习1：齿轮AB由连杆AC连接，可在固定的齿条上滚动，当BC位于铅垂时，B轮轮心的速度为v，方向如图。求A轮的角速度。已知二轮的半径为R，BC,AC=L.,练习2：飞轮以匀角速度绕圆心轴转动，半径为R，飞轮的边缘上铰接一杆AB，ABBCBDL米，图示时刻A处的半径OA与水平线成30度角，AB杆水平，BC、BD分别与铅垂线成30度角，求此时AB、BD、BC的角速度与滑块D的速度。,练习3：滚压机构中，OAR，以匀角速度转动。滚子的半径为r.图示瞬时OA垂直于AB，OA与水平线成60度角，求滚子的角速度及滚子上一
18、点M的速度。,练习4：OAR，以匀角速度绕轴O转动。ADDB，O1E4R。图示瞬时O1E垂直于ED且与铅垂线成30度角，求O1E杆的角速度。,练习5：OA10厘米，以匀角速度=6rad/s转动。直角三角板的边AC15厘米，BC45厘米，BD40厘米。图示瞬时，OA垂直于AC，OA垂直于BD，求BD杆的角速度，直角三角板的直角C点的速度。,练习6：滚子的半径为R，在水平面上纯滚，ABL。套筒A沿固定的杆运动，图示瞬时，滚子的中心具有向右的速度V，套筒A与地面间的距离为h。求套筒的速度。,练习7：平面机构中，A、B二轮在固定的圆弧曲面上纯滚。A轮的半径r=5厘米，B轮的半径R=10厘米。固定曲面的
19、半径40厘米，AB40厘米。A轮以匀角速度=3rad/s在曲面上纯滚。求B轮的角速度。,练习8：图示中OA杆以匀角速度绕轴O转动，OAOCR，BABCBD，当曲柄OA水平时，OA与AD成45度角，MN与水平线成30度角，且CDOC，OAAM，求MN的角速度。,练习9：图示机构中，OAO1BR，EBBDADL4R，OA垂直于AD，AD垂直于DE，DE垂直于O1B，O1D水平，OD连线位于铅垂；曲柄OA以匀角速度 绕轴O转动，求点F的速度。,8-4基点法求平面图形内各点的加速度,刚体的平面运动,绕基点A的转动（相对运动),随基点A的平移（牵连运动）,平面图形内任一点的加速度,B,A,aA,aB,a
20、A,aBA,w,a,=基点的加速度,基点法：,+相对基点转动的切向加速度,+法向加速度,刚体的平面运动,特别提示,基点法中：,瞬心法中：,相对于基点的=,刚体运动绝对的,例1.半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如图所示.已知轮心 A在图示瞬时的速度为vA及加速度为aA.求该瞬时车轮边缘上瞬心 P的加速度aP.,刚体的平面运动,A,vA,aA,结论,1、平面运动杆件瞬心点的加速度一定不等于零,否则，平面运动将成为定轴转动,3、若纯滚动的园轮以匀角速度滚动,2、沿直线路面纯滚动的园轮的轮心的加速度与角 加 速度、轮子的半径之间的关系,则园轮边缘上各点的加速度,大小相等,4沿直线路面纯滚动的圆
21、轮不论是,加速度滚动还是减速滚动,还是匀速滚动瞬心点的加速度,例2 曲柄滚轮机构 曲柄OA=R,n=60 r/min，AB=L，滚轮半径为r。求：当=60时，OAAB时滚轮的角加速度。,刚体的平面运动,P1,刚体的平面运动,刚体的平面运动,已知：半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。AB=l,求：（1）B端的速度和加速度（2）AB杆的角速度和角加速度。,解：由速度分布可知 AB 杆瞬心在C点,(2)取A点为基点，进行加速度分析,在 Bx、By 轴投影得,例4.图示瞬时滑块A以匀速度vA=12 cm/s 沿水平直槽向左运动,并通过连杆AB带动轮B沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知轮B的半径为r=2cm
22、,园弧轨道的半径为R=5cm,滑块A离园弧轨道中心 O的距离为l=4cm.求该瞬时连杆AB的角加速度及轮B的角加速度.,刚体的平面运动,AB=0,杆AB为瞬时平动.,角速度分析,B点的运动轨迹如何？,刚体的平面运动,aA=0,=0,=(AB)AB,AB=12 rad/s2,B=18 rad/s2,刚体的平面运动,例3 平面四连杆机构中，曲柄OA长r，连杆AB长l4r。当曲柄和连杆成一直线时，此时曲柄的角速度为w，角加速度为a，试求摇杆O1B的角速度和角加速度的大小及方向。,刚体的平面运动,O,O1,A,B,w,a,30,30,vB=0,O,O1,A,B,刚体的平面运动,练习1：OA杆以匀角速度
23、绕轴O匀速转动，OAR，ABBCBD2R，ABC为等腰直角三角板。图示瞬时，AC水平，OA与BD位于铅垂位置，求此时C点的速度与加速度。,练习2：齿轮AB由连杆AC连接，可在固定的齿条上滚动，当BC位于铅垂时，B轮轮心的速度为V，加速度为，方向均向右。已知二轮的半径为R，BC，ACL。求A轮的角加速度与AC杆的角加速度。,练习3：边长为L的正三角形在图示平面内运动，到达图示位置时，aAaBa，方向如图。求C点的加速度。,练习4：OAR，ABL，OA杆以匀角速度转动，当OA与水平线成45度角时，OA垂直于AB，求此时AB杆的角加速度与滑块B的加速度。,练习5：四连杆机构中，ABr，以匀速转动，C
24、DR，BC=L。图示时刻：CD垂直于AD，AB与水平成60度角，BC与铅垂成60度角，求BC、CD杆的角加速度。,练习6：长为L的刚性连杆AB连接两个滑块A、B，滑道间的夹角为45度，O为滑道的交点。已知：A滑块以匀速VA沿滑道下滑，求当AB与OA垂直时，滑块B的速度与加速度、连杆AB的角加速度。,练习7：半径为R的均质圆轮在水平面上纯滚不滑，在轮心处铰接一杆AB，杆AB的B端靠在墙面上，当AB与水平线成45度角时，轮心的速度为V，加速度为a，方向均向左。求此时B端的速度和加速度以及AB杆的角加速度。,练习8：OAr厘米，ABL厘米，OA杆以匀角速度0=5rad/s转动。图示瞬时，OA与水平线
25、成60度角,OA垂直于AB杆。求此时滑块B的速度与加速度。,练习9：四连杆机构中，OA杆运动的角速度与角加速度之间的关系为=1.7322。OA长为r，AB长为2r，BC21.732r。求图示瞬时BC杆的角加速度。,O,A,B,C,练习10：AB杆长为L2米，图示时刻，滑块B的速度为VB=4m/s，加速度为aB=3m/s2。求滑块A的速度与加速度。,练习11：OA长为2r、以匀角速度转动。AB长为L米。半径为r的轮B绕轴C转动。图示瞬时OA位于铅垂，O、C、B共线，求B点的速度与加速度。,练习12：OABCCOL，CB杆以匀角速度转动。图示瞬时：OA位于铅垂、CB位于水平，且O、C、B共线。求此
26、时OA杆的角加速度.,练习13 图示直角刚性杆，AC=CB=0.5m。设在图示瞬时，两端滑块沿水平与铅垂轴的加速度如图，其大小分别为 aA=1 m/s2，aB=3 m/s2。求这时直角杆的角速度和角加速度。,练习14：各杆的长相等，均为a。OA以匀角速度1逆时针转动，CD以匀角速度2逆时针转动。图示瞬时tg=4/3,求AB、BC杆的角速度与角加速度。,求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。,例9-11图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。,解：1、杆BE作平面运动，瞬心在O点。,取E为基点,沿BE方向投影,绝对运动：直线运动(BD)相对运动：直线运动(OA)牵连运动：定轴转动(轴O),2、动点：滑块B 动系：OA杆,沿BD方向投影,沿BD方向投影,
