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1、2023/9/13,1,第一节 点估计,一、点估计问题的提法,二、估计量的求法,第七章 参数估计,2023/9/13,2,一、点估计问题的提法,设总体 X 的分布函数形式已知,但它的一个或多个参数为未知,借助于总体 X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.,例1,2023/9/13,3,解,用样本均值来估计总体的均值 E(X).,2023/9/13,4,点估计问题的一般提法,2023/9/13,5,二、估计量的求法,由于估计量是样本的函数,是随机变量,故对不同的样本值,得到的参数值往往不同,如何求估计量是关键问题.,常用构造估计量的方法:(两种),矩估计法和最大似然估计法.,
2、2023/9/13,6,1.矩估计法,2023/9/13,7,(X为连续型),(X为离散型),2023/9/13,8,矩估计法的定义,用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为矩估计法.,矩估计法的具体做法:,矩估计量的观察值称为矩估计值.,2023/9/13,9,解,例2,2023/9/13,10,解方程组得到a,b的矩估计量分别为,2023/9/13,11,解,解方程组得到矩估计量分别为,例3,2023/9/13,12,上例表明:,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异.,一般地,2023/9/13,13,2.最大似然估计法,似然函数的定
3、义,2023/9/13,14,2023/9/13,15,最大似然估计法,2023/9/13,16,似然函数的定义,2023/9/13,17,2023/9/13,18,求最大似然估计量的步骤:,最大似然估计法是由费舍尔引进的.,2023/9/13,19,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令,对数似然方程组,对数似然方程,2023/9/13,20,解,似然函数,例4,2023/9/13,21,这一估计量与矩估计量是相同的.,2023/9/13,22,解,X 的似然函数为,例5,2023/9/13,23,2023/9/13,24,它们与相应的矩估计量相同.,2023/9/1
4、3,25,解,例6,2023/9/13,26,2023/9/13,27,最大似然估计的性质,证明,2023/9/13,28,此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况.,如例5中,2023/9/13,29,第三节 估计量的评选标准,一、问题的提出,二、无偏性,三、有效性,四、相合性,2023/9/13,30,一、问题的提出,从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,如第一节的例2和例6.而且,很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.,问题,(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?,(2)评价估计量的标准是什么?,下面介绍几个常用标准.,20
5、23/9/13,31,二、无偏性,无偏估计的实际意义:无系统误差.,2023/9/13,32,证,例1,2023/9/13,33,特别的:,不论总体 X 服从什么分布,只要它的数学期望存在,2023/9/13,34,证,例2,2023/9/13,35,(这种方法称为无偏化).,2023/9/13,36,证,例3,2023/9/13,37,2023/9/13,38,证明,例4,2023/9/13,39,由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.,2023/9/13,40,三、有效性,由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好.,2023/9/13,41,证明,例5(续例4),2023/9/13,42,证明,例6(续例3),2023/9/13,43,2023/9/13,44,四、相合性（一致性）,例如,2023/9/13,45,证明,由大数定律知,例7,2023/9/13,46,由大数定律知,2023/9/13,47,2023/9/13,48,作业：,书面：P173:2(1),4,10,13.,熟练掌握两种估计法;估计量的三种评选标准。,
