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1、第6章 时变电磁场,主要内容:波动方程、电磁场的位函数、电磁能量守恒定律、惟一性定理、时谐电磁场,什么是时变电磁场：源量（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。,在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。,静电场和恒定电流的磁场各自独立存在，可以分开讨论。,英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁现象的理论基础。,时变电磁场的特点：
2、1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2）电场和磁场共存，不可分割。3）电力线和磁力线相互环绕。,一、波动方程,1、时变场麦克斯韦方程组,积分形式,微分形式,全电流定律,电磁感应定律,磁通连续性原理,高斯定律,在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。,电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。,时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。,可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。,2、波动方程,由麦克斯韦方程组可以建立电磁场的波动方程，它揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动
3、性。,均匀无耗媒质的无源区域,麦氏方程为,得,电场E 的波动方程,同理,磁场H 的波动方程,得,无源区波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程,波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程。,为拉普拉斯算符，在直角坐标系中,既然Maxwell方程已经囊括所有宏观电磁现象，为什么还要波动方程：答案是求解的需要。Maxwell方程里电场和磁场耦合在一起，而波动方程里电场和磁场是独立出现的，它们有各自的波动方程。后者有时便于求解，但方程的阶数是二阶，比Maxwell方程高一阶。所以也有不用波动方程，直接用Maxwell方程求解。,从上方
4、程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。,建立波动方程的意义：通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。,二、电磁场的位函数,由麦氏第四方程,可令,由麦氏第二方程,于是,式中A（T.m)称为动态矢量位，简称矢量位。,(V)称为动态标量位，简称标量位。,静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。,由麦氏第一方程,将,将矢量恒等式,即,已知矢量位A 和标量位 可求相应的磁场和电场。矢量位和标量位由源决定。其满足的方程
5、讨论如下。,由麦氏第三方程,以上二方程称为达朗贝尔方程。此方程表明矢量位 的源是，而标量位 的源是。时变场中 和 是相互联系的。,同理,得,即,由亥姆霍兹定理：一矢量由其散度和旋度确定。前面定义A 的旋度等于磁感应强度B。为确定矢量位A 还需规定其散度。令（洛仑兹条件)。,所以,矢量位波动方程,标量位波动方程,由上可见，按照罗伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位 A 仅与电流 J 有关，标量位 仅与电荷 有关。,因此，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位。求出 A 及 以后，即可求出电场与磁场。,这样，麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而
6、且求解过程显然得到了简化。,2、简化了动态位与场源之间的关系，使得A单独由J 决定，单独由决定，给解题带来了方便；,洛仑兹条件（Luo lunci Condition)的重要意义,1、确定了 的值，与 共同唯一确定A；,位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程,在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程。,原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解 6 个坐标分量。（有源区域）,在无源区域，r与 均为零，上述场量和位函数的波动方程变为齐次波动方程：,若静态场，上述波动方程退化为相应的泊松方程和拉普拉斯方程。,三、电磁能量守恒定律,电磁能
7、量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印廷定理；,静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。,电场能量密度,磁场能量密度,损耗功率密度,对于各向同性的线性媒质,因此，时变电磁场的能量密度为,可见，时变场的能量密度是空间及时间的函数，而且时变电磁场的能量还会流动。,为了衡量这种能量流动的方向及强度，引入能量流动密度矢量(坡印廷矢量)，其方向表示能量流动方向，其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的功率，所以坡印廷矢量又称为功率流动密度矢量。坡印廷矢量以 S 表示，单位为W/m2。,1、坡印廷定理,设无外源(J=0,=0)的区域 V 中，
8、媒质是线性且各向同性的，则此区域中麦克斯韦方程为,由麦氏第一、第二方程,得,其中,于是得,取体积分，并应用散度定理得,在时变场中总电磁能量密度为,单位体积损耗的的焦耳热为,于是得,坡印廷定理,单位时间穿过闭合面S进入体积V 的电磁场能量,体积V 内单位时间电场能量和磁场能量的增加,单位时间体积V 内变为焦耳热的电磁能量,任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。,2、坡印廷矢量,矢量（）代表垂直穿过单位面积的功率，因此，就是前述的能流密度矢量 S，即,此式表明，S 与 E 及 H 垂直。又知，因此，S，E 及 H 三者在空间是相互垂直的，且由 E 至 H 与 S 构成右旋关系，如图
9、示。,表示单位时间内流过与电磁波传播方向相垂直单位面积上的电磁能量，亦称为功率流密度，S 的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。,W/m2,(1）为时间 的函数，表示瞬时功率流密度；,（2）公式中，E、H 应为场量的实数表达式；,（3）的大小：单位时间内通过垂直于能量传输方向 的单位面积的能量；,（4）的方向：电磁能量传播方向。,说明：,坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬时值大小为,可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。,只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。,四、惟一性定理,在闭合面 S 包围
10、的区域 V 中，当t=0时刻的电场强度 E 及磁场强度 H 的初始值给定时，又在 t 0 的时间内，只要边界 S 上的电场强度切向分量 Et 或磁场强度的切向分量 Ht 给定后，那么在 t 0 的任一时刻，体积 V 中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。,利用麦克斯韦方程导出的能量定理，用反证法即可证明这个定理。,E(r,0)&H(r,0),E(r,t),H(r,t),五、时谐电磁场,与电路和信号分析类似，为了便于分析，我们可以把一般随时间变化的时变电磁场，用傅立叶变换分解为许多不同时间频率的正弦电磁场（也称时谐电磁场）的叠加。,正弦电磁场一种特殊的时变电磁场，其场强的方向与时间无关，但其
11、大小随时间的变化规律为正弦函数，即,式中 Em(r)仅为空间函数，它是正弦时间函数的振幅。为角频率。e(r)为正弦函数的初始相位。,由傅里叶变换得知，任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和。因此，我们着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的。,正弦电磁场是由随时间按正弦变化的时变电荷与电流产生的。虽然场的变化落后于源，但是场与源随时间的变化规律是相同的，所以正弦电磁场的场和源具有相同的频率。,1、时谐电磁场中场量的瞬时表示式：以余弦函数为基准（工程界惯例。少数也有用正弦函数的），以电场强度矢量为例：,注意场量与时间变量t的关系非常简单和确定，这是引入复矢量的前提。,2、
12、时谐电磁场中场量的复数表示式 上式可以也用复数的实部表示为,式中,称为时谐电场的复振幅,故,式中,称为时谐电场的复矢量,同样时谐电磁场的其它场量也可以有类似的表示式，如,这些表示式建立了时谐电磁场场量的瞬时表示式与复数表示式之间的联系,3、麦克斯韦方程的复数形式,时谐场对时间的导数,由麦氏第一方程,、可与Re交换次序，得,复数相等与其实部及虚部分别相等是等效的，故可以去掉上式两边的 Re，得到,接着可以消去 去掉场量的下标,上面的方程里已经没有时间变量了，因此方程得到了简化。,形式上讲，只有把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。,同理可得,以及,上
13、述方程称为麦克斯韦方程的复数形式，式中各量均为有效值。,复数形式的Maxwell方程,微分形式,积分形式,例1.已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为,试求其磁场强度的复数形式。,解 根据时变电场瞬时值，求得其有效值的复数形式为,由于电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即。那么,又知,4、复数形式的波动方程亥姆霍兹方程,波动方程,设为时谐场,得,同理,亥姆霍兹方程,式中,用复数形式研究时谐场称为频域问题。,复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。,1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义,采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；,2.实数形式代表真
14、实场，具有明确物理意义；,3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量（称为二次式），只能用场量的瞬时形式表示。,说明:,5、复电容率和复磁导率,（1）,令 为导电媒质的等效复介电常数或复电容率，则上式可写成,用途：把导电媒质也视为一种等效的电介质，从而可以统一采用电介质的分析方法。,另外，即使介质不导电，也会有能量损耗，且与频率有关。这时同样可以用复介电常数表示这种介质损耗，即 虚部表示有能量损耗，从能量损耗的角度，表征电介质中的电极化损耗。,考虑上述两种能量损耗：欧姆损耗 和电极化损耗，总的复介电常数是,（2）同样在磁介质有损耗的情况下，也可以采用复数磁导率：,工
15、程上，通常用损耗角正切来表征电介质的损耗特性,（3）损耗角,导电媒质：,弱导电媒质（良绝缘体）,良导体,磁介质损耗角正切,6、时谐场的位函数,因此矢量位复数形式的波动方程是,因为,故,无源,罗伦兹条件的复数形式,正弦电磁场与位函数的关系,7、平均能量密度和平均能流密度矢量,由前一章定义的坡印廷矢量,坡印廷矢量的瞬时值,对正弦电磁场，需讨论该量在一个周期内的平均值平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量）,正弦变化矢量,式中 为相应的复矢量,故,由上式可计算出在一个时间周期内的平均值,于是可以定义复数坡印亭矢量,因此有,平均坡印廷矢量,与时间无关。,正弦量的有效值为瞬时值平方的周期平均值，所以正弦电磁场的能量密度的周期平均值为,即,式中 E(r)及 H(r)均为有效值。,或者以场强的最大值表示为,或者表示为,上式又可写为,上式表明，正弦电磁场能量密度的周期平均值等于电场能量密度与磁场能量密度的最大值之和的一半。,同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为,平均值为,可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。,经推导可得复数坡印亭定理,如果考虑传导电流的焦耳热损耗，有,极化电流的介电损耗，有,磁损耗，有 上式可写成,物理意义：上式右边是体积内的有功功率和无功功率，所以上式左边的面积分是穿过闭合面的复功率，其实部是有功功率，即功率的平均值。,
