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1、第三章 交流电路,3.1 正弦交流电的基本概念,一、正弦量,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(w t+i),波形：,周期T 和频率f:,频率f：每秒重复变化的次数。,周期T：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,u(t)=Umcos(w t+u),按正弦(余弦)规律变化的电压、电流称为正弦电压、电流，统称为正弦量,幅值(振幅、最大值)Im,(2)角频率,(3)初相位,2,t,单位：rad/s，弧度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,正弦量的计时起点的相位。,i(t)=Imcos(w t+),3.1 正弦交流电的基本概念,二、正弦量
2、的三要素,例,已知正弦电流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1,解,由于最大值发生在计时起点之后,3.1 正弦交流电的基本概念,二、正弦量的三要素,下一页,前一页,第 1-4 页,退出,设 u(t)=Umcos(w t+u),i(t)=Imcos(w t+i),则 相位差：j=(w t+u)-(w t+i)=u-i,j 0，u超前ij 角，或i 落后u j 角(u 比i先到达最大值)；,j 0，i 超前 uj 角，或u 滞后 i j 角,i 比 u 先到达最大值。,等于初相位之差,规定：|(180)。,3.1 正弦交流电的基本概念,三、相位差,j
3、0，同相：,j=(180o)，反相：,特殊相位关系：,=p/2：u 领先 i p/2,不说 u 落后 i 3p/2；i 落后 u p/2,不说 i 领先 u 3p/2。,同样可比较两个电压或两个电流的相位差。,3.1 正弦交流电的基本概念,三、相位差,下一页,前一页,第 1-6 页,退出,例,计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号。,3.1 正弦交流电的基本概念,三、相位差,下一页,前一页,第 1-7 页,退出,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。,周期电流、电压有效值定义,有效值也称均方根值,
4、物理意义,3.1 正弦交流电的基本概念,四、交流电的有效值,当周期信号和直流信号分别通过两个相等的电阻时，若在一个周期T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流数值为周期信号的有效值。,下一页,前一页,第 1-8 页,退出,同样，可定义电压有效值：,正弦电流、电压的有效值,设 i(t)=Imcos(t+),3.1 正弦交流电的基本概念,四、交流电的有效值,下一页,前一页,第 1-9 页,退出,同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压
5、等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注,3.1 正弦交流电的基本概念,四、交流电的有效值,下一页,前一页,第 1-10 页,退出,3.2 正弦量的相量表示法,一、复数及其运算,1、复数A的表示形式,直角坐标：A=a+jb,极坐标：A=|A|ej=|A|,复平面表示的复数,两种表示法的关系：,或,下一页,前一页,第 1-11 页,退出,2、复数运算,则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2),(1)加减运算采用代数形式,若 A1=a1+
6、jb1，A2=a2+jb2,图解法,平行四边形法则,3.2 正弦量的相量表示法,一、复数及其运算,下一页,前一页,第 1-12 页,退出,(2)乘除运算采用极坐标形式,除法：模相除，角相减。,例1.,乘法：模相乘，角相加。,则:,解,3.2 正弦量的相量表示法,一、复数及其运算,下一页,前一页,第 1-13 页,退出,例2.,(3)旋转因子：,模为1幅角为的复数e j=1,A ejq 相当于A逆时针旋转一个角度，而模不变。故把 ej 称为旋转因子。,解,3.2 正弦量的相量表示法,一、复数及其运算,下一页,前一页,第 1-14 页,退出,故+j,j,-1 都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋
7、转因子,3.2 正弦量的相量表示法,一、复数及其运算,下一页,前一页,第 1-15 页,退出,1、为什么要引入相量？,两个正弦量,无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。,以复数计算来代替正弦量的计算，可以使计算变得较简单。,求i3=i1+i2,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-16 页,退出,在分析计算线性电路时，电路中各部分电压和电流都是与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不必考虑。故一个正弦量可用幅值和初相角两个特征量来确定。,一个复数由模和幅角两个特征量确定。,一个正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素。,比照复数和正弦量，正弦量可用复
8、数来表示。,2、正弦量的相量表示,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-17 页,退出,相量专门用于表示正弦量的复数,设正弦电压：,注意：,相量不是正弦量。(相量是复常数，正弦量是t的函数),频率确定时，相量与正弦量一一对应。,u的振幅相量:,u的有效值相量：,简称相量,=Um e j=Um,=U e j=U,=,u(t)=Umcos(t+),3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-18 页,退出,在复平面上用向量表示相量的图,3、相量图,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-19 页,退
9、出,4相量与正弦量的关系,复函数：Ume j(t+),=Um cos(t+)+jUm sin(t+),Um cos(t+),=ReUme j(t+),=ReUme jt e j,振幅相量,e jt,旋转因子,正弦量等于对应相量乘以旋转因子e jt后取实部。,=Re e jt,=Ume j,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-20 页,退出,已知,例1,试用相量表示i,u.,解,例2,试写出电流的瞬时值表达式。,解,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-21 页,退出,两正弦量频率不同，但对应相量相同。,求正弦量i(t)=
10、5cos(100 t-/3)A和 i1(t)=5cos(314t+2/3)V 对应的振幅相量,解：,例3,i(t)=5cos(+100 t/3),=5cos(100 t+2/3）,Im=5(2/3)A,Im1=5(2/3)A,i(t)的振幅相量为：,i1(t)的振幅相量为：,*结论：相量与频率一起才能完整表示正弦量。,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-22 页,退出,5.相量法的应用,(1)同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为：,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-2
11、3 页,退出,例,也可借助相量图计算,首尾相接,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-24 页,退出,（2）正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-25 页,退出,例,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；,3.2 正弦量的相量表示法,二、正弦量的相量表示,下一页,前一页,第 1-26 页,退出,3.3 单一元件参数电路,一、电阻电路,1.电阻元件VCR的相量形式
12、,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系,相位关系,相量关系：,下一页,前一页,第 1-27 页,退出,3.3 单一元件参数电路,一、电阻电路,3、瞬时功率：,2、波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,下一页,前一页,第 1-28 页,退出,一个周期内的平均功率，也就是瞬时功率的平均值，又叫称为有功功率。,4、平均功率：,一、电阻电路,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-29 页,退出,时域形式：,相量形式：,相量模型,相量关系：,有效值关系：,相位关系：,1.电感元件VCR的相量形式,3.3 单一元件参数电路,二、电感电路,U=w
13、L I,u=i+90,下一页,前一页,第 1-30 页,退出,感抗的物理意义：,(1)表示限制电流的能力；,(2)感抗和频率成正比；,XL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆),2、感抗和感纳,BL=1/L=1/2fL，感纳，单位为 S,3.3 单一元件参数电路,二、电感电路,下一页,前一页,第 1-31 页,退出,4、功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,3、波形图及相量图：,电压超前电流900,平均功率 0,3.3 单一元件参数电路,二、电感电路,下一页,前一页,第 1-32 页,退出,三、电容电路,3.3 单一元件参数电路,时域形式：,相量形式：,相量模型,有效值关系
14、：,相位关系：,相量关系：,1.电容元件VCR的相量形式,IC=w CU,i=u+90,下一页,前一页,第 1-33 页,退出,XC=1/w C，称为容抗，单位为(欧姆),频率和容抗成反比,2、容抗与容纳：,B C=C，称为容纳，单位为 S,0，|XC|直流开路(隔直),w，|XC|0 高频短路,3.3 单一元件参数电路,三、电容电路,下一页,前一页,第 1-34 页,退出,4、功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,3、波形图及相量图：,电流超前电压900,平均功率 0,3.3 单一元件参数电路,三、电容电路,下一页,前一页,第 1-35 页,退出,同频率的正弦量加减可以用
15、对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和KVL可用相应的相量形式表示：,流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,四、基尔霍夫定律的相量形式,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-36 页,退出,例1,试判断下列表达式的正、误：,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-37 页,退出,例2,已知电流表读数：,解,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-38 页,退出,例3,解,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-39 页,退出,例4,解,3.3 单一元件参数电路,下一
16、页,前一页,第 1-40 页,退出,例5,解,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-41 页,退出,例6,图示电路I1=I2同=5A，U50V，总电压与总电流同相位，求I、R、XC、XL。,解,令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部,3.3 单一元件参数电路,下一页,前一页,第 1-42 页,退出,已知图 中电压表读数为：V1=10V；V2=10V；V3=10V。则电压Us为（A）10V（B）20V（C）30V（D）40V,下一页,前一页,第 1-43 页,退出,3.3 单一元件参数电路,已知图中正弦稳态电路中电流表读数为：A115A；A225A；A360A。维持A1的读数不变，而把
17、电源的频率提高一倍，则电流表A的读数为（A）20A（B）25A（C）30A（D）35A,下一页,前一页,第 1-44 页,退出,3.3 单一元件参数电路,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,1.阻抗,正弦激励下,单位：,阻抗模,阻抗角,欧姆定律的相量形式,下一页,前一页,第 1-45 页,退出,当无源网络内为单个元件时有：,Z可以是实数，也可以是虚数,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-46 页,退出,2.RLC串联电路,由KVL：,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-47 页,退出,Z 复阻抗；R电阻(阻抗的实部)；X电抗(阻抗的虚部)；
18、|Z|复阻抗的模；阻抗角。,关系：,或,阻抗三角形,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-48 页,退出,分析 R、L、C 串联电路得出：,（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|j为复数，故称复阻抗,（2）wL 1/wC，X0，j 0，电路为感性，电压领先电流；,wL1/wC，X0，j 0，电路为容性，电压落后电流；,wL=1/wC，X=0，j=0，电路为电阻性，电压与电流同相。,（3）相量图：选电流为参考向量，设wL 1/wC,三角形UR、UX、U 称为电压三角形，它和阻抗三角形相似。即,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-49 页,退出
19、,正弦交流RLC串连电路中会出现分电压大于总电压,例,已知：R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求 i,uR,uL,uC.,解,其相量模型为：,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-50 页,退出,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-51 页,退出,则,UL=8.42U=5，分电压大于总电压。,注,3.4 简单正弦电路,一、阻抗和导纳,下一页,前一页,第 1-52 页,退出,3.4 简单正弦电路,二、阻抗串连和并联,例,求图示电路的等效阻抗，105rad/s。,解,感抗和容抗为：,下一页,前一页,第 1-53 页,退出,3.4 简单正弦电路
20、,二、阻抗串连和并联,例,图示为RC选频网络，试求u1和u0同相位的条件及,解,设：Z1=RjXC,下一页,前一页,第 1-54 页,退出,Z2=R/(-jXC),3.5复杂交流电路的分析和计算,直流电路与正弦电流电路的分析比较：,可见，二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将直流电路的分析方法推广应用于正弦电路的相量分析中。,下一页,前一页,第 1-55 页,退出,例1:,画出电路的相量模型,解,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-56 页,退出,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-57 页,退出,列写电路的回路电流方程和节点
21、电压方程,例2.,解,回路法:,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-58 页,退出,节点法:,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-59 页,退出,方法一：电源变换,解,例3.,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-60 页,退出,方法二：戴维南等效变换,求开路电压：,求等效电阻：,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-61 页,退出,例4,求图示电路的戴维南等效电路。,解,求短路电流：,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-62 页,退出,例5,用叠加定理计算电流,解,3.5复杂交流电路的分析和计算,
22、下一页,前一页,第 1-63 页,退出,已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。,例6,解,3.5复杂交流电路的分析和计算,下一页,前一页,第 1-64 页,退出,已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz 求：线圈的电阻R2和电感L2。,例7,解,下一页,前一页,第 1-65 页,退出,3.5复杂交流电路的分析和计算,3.6正弦交流电路的功率,一、瞬时功率,无源一端口网络吸收的功率(u,i 关联),p有时为正,有时为负；,p0,电路吸收功率：,p0，电路发出功率；,下一页,前一页,第 1-66 页,退出,sinsin=-cos(+)-cos(
23、-)/2(注意公式前的负号)coscos=cos(+)+cos(-)/2 sincos=sin(+)+sin(-)/2 cossin=sin(+)-sin(-)/2,功率因数角:,单位：,二、平均功率,3.6正弦交流电路的功率,定义:,p在一个周期T内的平均值,W（瓦）,=u-i,，对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。,下一页,前一页,第 1-68 页,退出,3.6正弦交流电路的功率,三、功率因数,=cos,定义：,不同电路不同,=0,纯电阻：,cos=1,电能全部被电阻消耗；,纯电抗：,=90,cos=0,电能不消耗，只交换；,一般电路：,0cos1,电能既消耗又交换。,9090,下一页,前一
24、页,第 1-69 页,退出,3.6正弦交流电路的功率,四、无功功率,定义：,Q=UIsin,var(乏无功伏安)Kvar(千乏),纯C：=90Q=UIsin0(产生Q),1）由电压三角形：Usin=,Q代表电路单位时间内交换的能量，不表示单位时间内做的功。,Q=IUsin=IUX，Q表示电抗上的功率(交换能量),UX,2）电路的性质不同，使Q有正、负之分：,纯L：=90 Q=UIsin 0(消耗Q),单位：,说明：,下一页,前一页,第 1-70 页,退出,3.6正弦交流电路的功率,五、视在功率,单位：,S=U I,定义：,VA(伏安)KVA(千伏安),表示设备(如变压器)的容量或设备可能提供给
25、负载的功率。,下一页,前一页,第 1-71 页,退出,3.6正弦交流电路的功率,六、有功、无功、视在功率的关系,有功功率:P=UIcosj 单位：W,无功功率:Q=UIsinj 单位：var,视在功率:S=UI 单位：VA,功率三角形,阻抗三角形,电压三角形,下一页,前一页,第 1-72 页,退出,例1,三表法测线圈参数。,已知f=50Hz，且测得U=50V，I=1A，P=30W。,解,方法一,3.6正弦交流电路的功率,下一页,前一页,第 1-73 页,退出,方法二,又,方法三,3.6正弦交流电路的功率,下一页,前一页,第 1-74 页,退出,3.6正弦交流电路中的谐振,一、谐振的定义,含有R
26、、L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。,发生谐振,下一页,前一页,第 1-75 页,退出,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,1.串联谐振的条件,2、谐振频率,谐振频率,谐振条件,仅与电路参数有关,谐振角频率,下一页,前一页,第 1-76 页,退出,3、串联电路实现谐振的方式：,（1）L C 不变，改变0。,（2）电源频率不变，改变 L 或 C(常改变C)。,0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的0,当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-77
27、页,退出,4.RLC串联电路谐振时的特点,(2).Z=R。电路中阻抗值|Z|达最小值；,(3).电流I达到最大值 I0=U/R(U一定)。,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-78 页,退出,(4)LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-79 页,退出,特性阻抗,当 w0L=1/(w0C)R 时，UL=UC U,5、品质因数,定义：,串连谐振时：,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-80 页,退出,例,某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到
28、中央电台560kHz信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V求谐振电流和此时的电容电压。,解,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-81 页,退出,6.RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性,谐振曲线,物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-82 页,退出,（1）阻抗的频率特性,幅频特性,相频特性,阻抗相频特性,阻抗幅频特性,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-83 页,退出,2.电流谐振曲线,幅值关系：,I(w)与|Y(w)
29、|相似。,电流谐振曲线,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-84 页,退出,从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏离0时，电流从最大值U/R降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。,3、选择性),电流谐振曲线,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-85 页,退出,Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此，Q是反映谐振
30、电路性质的一个重要指标。,3.6正弦交流电路中的谐振,二、串联谐振,下一页,前一页,第 1-86 页,退出,1.并联谐振的条件,2、谐振频率,谐振频率,谐振条件,仅与电路参数有关,谐振角频率,3.6正弦交流电路中的谐振,三、并联谐振,下一页,前一页,第 1-87 页,退出,3、RLC并联电路谐振时的特点,(2).Y=G|Y|达最小值，|Z|达最大值；,(3).电流I达到最小值 I0=U/R(U一定)；若电流一定，则电压U达最大值。,(4)L、C上的电流大小相等，相位相反。,3.6正弦交流电路中的谐振,三、并联谐振,下一页,前一页,第 1-88 页,退出,当 Q 1 时，IL=IC I,4、品质因数,定义：,并联谐振时：,谐振时电感(或电容）上的电流与总电流之比,3.6正弦交流电路中的谐振,三、并联谐振,下一页,前一页,第 1-89 页,退出,5.电感线圈与电容器的并联谐振,实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图：,谐振时 B=0，即,3.6正弦交流电路中的谐振,三、并联谐振,下一页,前一页,第 1-90 页,退出,
