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1、第二节 静电场的基本方程,2.2 库仑定律 电场强度,一、库仑定律,1）库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律,2）库仑定律内容：如图，电荷q1对电荷q2的作用力为：,式中：,为真空中介电常数。,对库仑定律的进一步讨论,1）大小与电量成正比、与距离的平方成反比，方向在连线上。,2）多个电荷对一个电荷的静电力是各电荷力的矢量叠加，即,3）连续分布电荷系统的静电力须通过矢量积分进行求解,二、电场强度矢量,1）电场的定义,2）电场强度矢量,用电场强度矢量 表示电场的大小和方向,电场是电荷周围形成的物质，当另外的电荷处于这个物质中时，会受到电场力的作用 静止电荷产生的电场称为静电场 随时间发
2、生变化的电荷产生的电场称为时变电场,实验证明：电场中电荷q0所受的电场力大小与自身所带电量q0成正比，与电荷所在位置电场强度大小成正比，即,对电场强度的进一步讨论,电场强度形成矢量场分布，各点相同时，称为均匀电场 电场强度是单位点电荷受到的电场力，只与产生电场的电荷有关 对静电场和时变电场上式均成立,3）点电荷产生的电场 单个点电荷q在空间任意点激发的电场为,特殊地，当点电荷q位于坐标原点时，,4）多个点电荷组成的电荷系统产生的电场,由矢量叠加原理，N个点电荷组成的电荷系统在空间任意点激发的电场为,式中:,5）连续分布的电荷系统产生的电场 连续分布于体积V中的电荷在空间任意点r产生的电场,处理
3、思路：1)无限细分区域 2）考查每个区域 3）矢量叠加原理,设体电荷密度为，图中dV在P点产生的电场为：,则整个体积V内电荷在P点处产生的电场为：,面电荷和线电荷产生的电场只需在上式中将电荷体密度、体积元和积分区域作相应替换即可，如：,线电荷,面电荷,例1 在直角坐标系的原点（0，0）及离原点1.0m的y轴上（0，1）处分别放置电荷量为q1=1.010-9C和q2=-2.010-9C的点电荷，求x轴上离原点为2.0m处P点场强（如图）。,解:q1在P点所激发的场强为,q2在P点场强的大小为,E2的矢量式为,电场和x轴的夹角为的大小为,根据场强叠加原理，P点的总场强为,解题步骤,例2 求一均匀带
4、电直线在P点的电场.已知a、1、2、。,2.选电荷元,1.建立坐标系,3.确定磁场的方向,4.确定磁场的大小,5.将,投影到坐标轴上,6.选择积分变量,同理,最后:,讨论:,当直线长度,无限长均匀带电直线的场强：,【例3】求均匀带电圆环轴线上任一点p处的场强。,【解】：设电量q，圆环半径为a，场点距圆心y,由对称性可知，总电场沿 y 方向，所以总电场,而电荷元,其场强,则电荷线密度,而,p,则,【讨论】：,1.y a,（点电荷）,2.Y=0 时，E=0,用矢量表示,例4 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。,解：由例3均匀带电圆环轴线上一点的电场,讨论：,无限大均匀带电平面的场强，匀强电场,可视
5、为点电荷的电场,例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。,由球体的对称性分析可知：电场方向沿半径方向：电场大小只与场点距离球心的距离相关。,解：在球面上取面元ds，该面元在P点处产生的电场径向分量为：,式中：,导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。,结果分析,3 真空中静电场的基本方程,亥姆霍兹定理告诉我们：矢量场的散度和旋度决定其性质，因此，静电场的基本方程即为电场的散度、旋度计算式。,一、真空中静电场的散度 高斯定理,真空中静电场的高斯定理,式中：S为高斯面，是一闭合曲面，Q为高斯面所围的电荷总量。,静电场
6、高斯定理积分形式,真空中静电场的散度,静电场高斯定理微分形式,说明：1)电场散度仅与电荷分布相关，其大小,2）对于真空中点电荷，有,或,高斯散度定理,1）物理意义：静电场 穿过闭合面S的通量只与闭合面内所围电荷量有关。2）静电场是有源场，静电荷是静电场的散度源，激发起扩散或汇集状的静电场 3）无电荷处，源的强度(散度）为零，但电场不一定为零,对高斯定理的讨论,二、真空中静电场的旋度 环路定律,当A点和B点重合时：,物理意义：在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零静电场为保守场。静电场旋度处处为零，静电场是无旋场，电力线不构成闭合回路,对环路定理的讨论,真空中静电场性质小结：
7、,微分形式,积分形式,静电场性质：是一种有源无旋场，是保守场。,静电场的源：电荷,讨论：对静电场，恒有：,为标量函数,静电场可以由一标量函数的梯度表示。,求解的关键：高斯面的选择。,高斯面的选择原则：,只有当电荷呈某种对称分布时才可能满足以上原则，因此用高斯定理求解电场的方法只能适用于一些呈对称分布的电荷系统。,1）场点位于高斯面上；2）高斯面为闭合面；3）在整个或分段高斯面上，或 为恒定值。,补充内容：利用高斯定理求解静电场,例1.均匀带电球面内外的电场，球面半径为R,带电为q。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为r的高斯面.,1）r R时，,解：,2）r R时，,Er 关
8、系曲线,例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。,电场分布也应有球对称性，方向沿径向。,作同心且半径为r的高斯面,解：,1）r R时，,Er 关系曲线,2）r R时，,例3 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，面密度为。,作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向,高为l,半径为r,(1)r R,(2)r R,习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体密度为。,作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向,高为l,半径为r,(1)r R,(2)r R,例4 均匀带电无限大平面的电场，已知。,电场分布也应有面对称性，方向
9、沿法向。,解：,作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为S，两底面到带电平面距离相同。,圆柱形高斯面内电荷,由高斯定理得,习题,两平行的无限大平面均匀带电，面密度分别为,解：,则：,同理：,则：,用高斯定理求场强小结：,电荷分布对称性场强分布对称性,球对称性,轴对称性柱对称,面对称性,例4 在半径为a的球中分布密度为 的电荷，已知空间中的电场强度分布为：当 时，当 时，（其中A为已知常数），试求空间各点的电荷分布。,解：由静电场高斯定理微分形式,球坐标系中：,1）当,2）当,例 5 已知半径为a的球内、外的电场强度为,求电荷分布。,解：由高斯定理的微分形式，得电荷密度为,用球坐标中的散度公式,可得,(ra),(ra),
